切比雪夫定理計算器

切比雪夫定理為分布中位於平均數附近的觀測值比例提供有保證的下界。與熟悉的經驗法則不同，它不要求資料呈現常態、對稱或鐘形分布。若母體或資料集具有有限的平均數與變異數，則對任何大於一的 k，至少有 1 − 1/k² 的數值落在距平均數 k 個標準差以內。因此，當分布形狀未知、不規則或明顯偏斜時，這項定理仍很實用。 計算器套用兩個相關公式。首先，計算 μ − kσ 至 μ + kσ 的區間，其中 μ 是平均數、σ 是標準差、k 是選定的距離倍數。接著，將 1 − 1/k² 換算成百分比。當 k = 2 時，定理保證至少 75% 的數值位於平均數兩側兩個標準差以內。當 k = 3 時，保證比例提高至約 88.89%。這些是最低界限，不是確切比例的預測。特定分布可能有更多資料落在區間內。 切比雪夫界限較保守，因為它必須對幾乎所有分布都成立。常態分布約有 95% 的觀測值落在平均數兩側兩個標準差內，切比雪夫定理卻只保證 75%。這不代表定理不準確，而是反映無須假設分布形狀的優點。若常態假設有依據，針對特定分布的方法能給出更緊的估計；否則，切比雪夫定理可提供可靠的基準。 區間採用與原始測量相同的單位。若考試分數平均數為 70、標準差為 8，且 k = 2，則區間為 54 至 86，並保證至少 75% 的分數落在此範圍。結果描述整體分布的比例；除非觀測值是從該分布隨機抽出，否則不代表單一未來結果的機率。請確認平均數與標準差描述的是要分析的母體或樣本，並記得 k 必須大於一，界限才有參考價值。