三次迴歸計算機

三次迴歸以三次多項式擬合成對觀測資料。模型形式為 y = ax³ + bx² + cx + d，其中 a 控制主要的彎曲變化，b 提供二次彎曲項，c 描述線性趨勢，d 則是 x 為零時的預測值。與內插不同，迴歸通常不會強制曲線通過每個點，而是選出使觀測 y 值與預測 y 值之間垂直差異的平方和最小的係數。 本三次迴歸計算機採用普通最小平方法。根據輸入的 x 值，建立對應基底項 1、x、x² 與 x³ 的四個正規方程式，再透過選主元的高斯消去法求解此四元方程組。每一步選取可用的最大主元，可提高數值可靠性。由於必須估計四個獨立係數，至少需要四組成對觀測資料及四個不同的 x 值。 結果中的決定係數 R²，比較模型剩餘的平方誤差與觀測 y 值的總變異。R² 為 1 代表擬合曲線完全重現所有觀測值。接近零表示模型解釋變異的能力，相較於直接使用平均值並未提升多少。高 R² 是擬合良好的有用證據，但不能證明三次關係具有科學意義，也不保證觀測範圍之外的預測可靠。 當資料趨勢最多改變方向兩次時，三次模型相當實用，例如先加速上升、接著減緩，再次上升。它可描述校正曲線、有限區間內的物理軌跡、生長量測、需求型態及平滑的實驗響應。盡可能將資料繪圖。單一異常觀測值可能有很大影響，而數值很大或過度密集的 x 值，可能使多項式係數對細微變動敏感。 兩個列表的位置必須配對：第一個 x 對應第一個 y，第二個 x 對應第二個 y，以此類推。觀測資料多於最低要求的四組時，通常能得到更有參考價值的擬合。超出資料範圍的預測需謹慎，因為 x³ 項可能快速增長。請將三次模型與較簡單的線性或二次模型比較；若額外彎曲未帶來實質改善，應優先選用簡單模型。