均勻分布計算器 - PDF、CDF 和平均數
計算任意連續均勻分布的機率密度函數、累積分布函數、平均數、變異數與區間機率。
輸入最小值 a 與最大值 b。也可輸入點 x 來計算 CDF，或輸入下限 x1 / 上限 x2 來計算區間機率。
均勻分布計算器 - PDF、CDF 和平均數
計算任意連續均勻分布的機率密度函數、累積分布函數、平均數、變異數與區間機率。
可選 — 輸入 x 以計算 P(X ≤ x)。
可選 — 同時輸入 x1 和 x2 以計算 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
關於均勻分布
連續均勻分布有時也稱為矩形分布，描述的是在區間 [a, b] 內，每個值出現的可能性都相同的情況。它是最簡單的連續機率分布，也是所有結果在某個範圍內等可能時的典型模型——例如，公車在預定時間窗內到站的精確時刻，或隨機時刻停止的輪盤最後停下的位置。
均勻分布的機率密度函數（PDF）在整個區間內保持不變：當 a ≤ x ≤ b 時，f(x) = 1/(b − a)，其他位置為 0。由於 PDF 下方總面積必須等於 1，而圖形又是一個平坦的矩形，所以矩形高度就是寬度的倒數。這也讓 PDF 很容易理解：任何寬度相同的子區間，不論位於 [a, b] 的哪個位置，機率都相同。
累積分布函數（CDF）會給出隨機觀測值落在某個特定值 x 及其以下的機率。對於均勻分布，a ≤ x ≤ b 時，F(x) = (x − a)/(b − a)。它會隨著 x 從 a 線性上升到 b，由 0 增加到 1，反映出機率隨著 x 在區間內移動而持續累積。要找數值落在區間 [x1, x2] 內的機率，只要相減：P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a)，也就是子區間寬度除以總寬度。
均勻分布的平均數（期望值）就是區間的中點：E[X] = (a + b)/2。這非常符合直覺——如果所有值都同樣可能，那麼平均值自然會落在正中央。變異數衡量的是相對於平均數的平均平方偏差，等於 (b − a)² / 12。區間越寬，變異數越大，代表我們對結果會落在哪裡的不確定性更高。
均勻分布常被用作模擬、蒙地卡羅方法與隨機數產生的起點或基準。偽隨機數產生器通常先產生 [0, 1] 上的均勻隨機變數，再用逆 CDF 方法將其轉換為其他分布。在貝葉斯統計中，均勻先驗表示在已知範圍內對參數完全未知的狀態。在可靠度工程與排程中，當只知道範圍而不知道確切時間時，它可用來建模未知的到達或失效時間。
理解均勻分布，也能為掌握更複雜的連續分布打下基礎。它的簡單性非常適合在介紹常態分布、指數分布或貝塔分布之前，先說明 PDF、CDF、期望值與變異數等概念。
均勻分布範例
使用均勻分布公式演算的常見情境。
| 參數 | 關鍵指標 | 應用 |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | 標準均勻分布 U(0,1)，是所有偽隨機數產生器與逆 CDF 轉換法的基礎。 |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | 公車在 2 到 10 分鐘之間均勻到達。平均等待時間為 6 分鐘，變異數為 (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333。 |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | 一小時中的隨機一分鐘。落在第 20 分鐘到第 40 分鐘之間的機率為 (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333。 |
如何使用均勻分布計算器
- 在第一個欄位輸入最小值 a，並在第二個欄位輸入最大值 b。請確保 b 嚴格大於 a。
- 按下計算即可立即查看該分布的 PDF、平均數、變異數與標準差。
- 可選擇在 CDF 欄位輸入 x，以計算 P(X ≤ x)，也就是隨機變數小於等於 x 的機率。
- 可選擇同時輸入 x1 和 x2，以計算區間機率 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
- 按下重設即可清除所有欄位並開始新的計算。
均勻分布常見問題
均勻分布用在哪些情境？
均勻分布用來描述某個範圍內每個結果出現機率相同的情況。常見應用包括隨機數產生、模擬研究、貝葉斯中的非資訊先驗，以及只知道可能範圍時的排程或到達時間建模。
如何計算區間機率？
對於區間 [a, b] 上的均勻分布，值落在 [x1, x2] 內的機率就是 (x2 − x1) / (b − a)。這與子區間寬度相對於總範圍的比例成正比，也正反映了平坦的 PDF。
均勻分布中的 PDF 和 CDF 有什麼差別？
PDF 表示單點的密度，在 [a, b] 內任何一點都等於 1/(b−a)。CDF 表示到某個點 x 為止的累積機率，等於 (x−a)/(b−a)。對連續分布而言，機率只對區間有意義，而不是對單一點有意義。
為什麼變異數是 (b−a)²/12？
變異數是透過在 [a, b] 上對 (x − 平均數)² × f(x) 積分得到的，其中 f(x) = 1/(b−a)。化簡後結果就是 (b−a)²/12。區間越寬，數值離平均數越分散，因此變異數會隨寬度平方成比例增加。
均勻分布是否等同於等可能結果？
對連續隨機變數來說，是的。均勻分布是公平骰子或隨機抽取的連續對應版本——任何等長子區間的機率都相同。不過在連續情況下，單一點的機率為 0，只有區間機率才非零。
標準均勻分布 U(0,1) 與其他分布有什麼關係？
標準均勻分布 U(0,1) 是產生任何連續分布的基礎。如果 U 服從 [0,1] 上的均勻分布，而 F 是目標分布的 CDF，那麼 F⁻¹(U) 就會服從該目標分布。這個逆變換法是多數隨機抽樣演算法的核心。