伯特蘭盒子悖論計算器

伯特蘭盒子悖論是經典的條件機率謎題。標準形式中有三個盒子，每盒裝兩枚硬幣：一盒裝兩枚金幣，一盒裝一枚金幣和一枚銀幣，另一盒裝兩枚銀幣。等機率選取一個盒子，再等機率抽出一枚硬幣，觀察到它是金幣。問題是：所選盒子裡未看到的另一枚硬幣也是金幣的機率是多少？直覺常誤答為二分之一，因為只剩雙金幣盒和金銀幣盒兩種可能。 遺漏的關鍵是，看到金幣後，這兩種盒子並非等可能。雙金幣盒有兩枚硬幣能產生此觀察結果，金銀幣盒則只有一枚。在三個等可能的金幣抽取結果中，兩個來自雙金幣盒。因此，另一枚也是金幣的條件機率為 2/3，約為 66.67%。觀察改變了各盒子的相對可能性，這正是悖論的核心。 計算器允許每類盒子有多個，將謎題推廣至更多情況。若有 G 個雙金幣盒和 M 個金銀幣盒，前者提供 2G 個金幣結果，混合組提供 M 個金幣結果。已知抽到金幣，選中雙金幣盒的機率為 2G 除以 2G + M。雙銀幣盒不出現在公式中，因為它們無法產生已知的金幣觀察結果，但在看到硬幣之前仍屬於實驗的一部分。 這個謎題簡潔呈現貝氏定理、選擇效應，以及依據證據計算結果的重要性。它類似醫學檢測判讀、品質管制抽樣等情境：同一觀察結果在不同隱藏原因下出現的可能性並不相同。答案取決於抽樣假設：每個盒子被選中的機率必須相同，盒內每枚硬幣被抽出的機率也必須相同。若選取機率不同，就須明確納入這些權重。調整各類盒子的數量，可以觀察重複盒子類型如何在維持相同條件推理的同時改變後驗機率。