對數常態分布計算器

當正隨機變數的自然對數服從常態分布時，該變數即服從對數常態分布。如果ln(X)服從位置參數為mu、標準差為sigma的常態分布，則X服從具有這些參數的對數常態分布。此分布僅定義於正值，通常呈右偏：許多觀測值集中於較低值，而較長的右尾容許偶爾出現很大的結果。 這些參數描述的是對數，而非原始測量值。Mu是ln(X)的平均數，因此改變mu會使原始尺度上的分布以乘法方式位移。Sigma是ln(X)的標準差，必須為正。Sigma越大，相對離散程度越高，右偏越明顯，右尾也越厚。Sigma有時稱為形狀參數或對數尺度參數，並不是X的一般標準差。 機率密度函數PDF提供正數x處的相對密度。單點的密度本身不是機率；機率來自區間下的面積。累積分布函數CDF提供X小於或等於輸入值x的機率。計算時先將ln(x)轉為常態z分數，再求標準常態分布的CDF。 在原始尺度上，中位數為exp(mu)，因為一半的對數值低於mu。眾數為exp(mu減去sigma的平方)，當sigma為正時小於中位數。平均數為exp(mu加上sigma平方的一半)，大於中位數，因為右尾的大值會拉高算術平均數。眾數小於中位數、中位數小於平均數，是右偏分布的典型特徵。 變異數等於exp(sigma的平方)減一，再乘以exp(2mu加上sigma的平方)。隨著sigma增加，變異數可能快速增長。這種敏感性對金融、環境、可靠度、生物及持續時間資料很重要，因為少數大觀測值可能主導總量。請清楚說明參數定義，因為部分軟體採用以原始尺度平均數或獨立尺度因子為基礎的其他參數化方式。 當數值嚴格為正，且多種影響因素以乘法共同作用時，對數常態模型可能合理。例如所得、粒徑、維修時間、生物濃度，以及某些資產價格比率。但並非所有正值右偏樣本都適用。應檢視直方圖、對數尺度圖，以及對數值的常態機率圖。零與負值必須經過有科學依據的轉換，或改用其他模型，才能處理。