二項分布計算器

二項分布用來描述固定次數的獨立試驗中成功次數的分布。每次試驗必須有兩種相關結果，通常稱為成功與失敗，且每次成功機率必須相同。參數n是試驗次數，p是單次試驗的成功機率。隨機變數計算成功發生的次數，因此可能值為零到n的整數。 恰好成功k次的機率，等於二項係數「n取k」乘以p的k次方，再乘以一減p的n減k次方。該係數計算k次成功可能出現的不同排列順序。計算器除計算此精確機率，也提供兩種累積結果。「至多k次」加總零到k次的機率；「至少k次」加總k到n次的機率，此處透過少於k次成功的補事件計算。這些累積機率可回答僅靠精確機率無法處理的門檻問題。 分布的平均數為n乘以p，代表整個實驗重複多次後成功次數的長期平均。變異數為n乘以p再乘以一減p，標準差則是變異數的平方根。平均數不一定是可能出現的整數結果；它描述分布的中心，而不是保證出現的次數。p接近二分之一時分散程度最大，接近零或一時則較小。 常見應用包含擲硬幣、製造缺陷計數、問卷回覆、轉換、通過或不通過的測驗，以及治療結果。使用前請仔細檢查假設：試驗應相互獨立，次數須預先固定，且每次成功機率一致。從較小母體進行不放回抽樣可能違反獨立性，通常更適合以超幾何分布建模。機率會變動的事件也需要其他模型。請將p輸入為零到一的小數，例如25%輸入0.25。單一成功次數使用精確機率，上限問題使用「至多」機率，達到或超過目標則使用「至少」機率。