線性獨立計算器

若一組向量的線性組合等於零向量時，所有係數只能全為零，則該向量組線性獨立。對三個向量 v1、v2 與 v3 而言，線性獨立表示 c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 必然推出 c1 = c2 = c3 = 0。若有不全為零的係數也能得到零向量，該向量組便線性相依。直觀來說，相依的向量不會增加新方向，因為它可由其他向量組合而成。 本計算器將三個輸入向量組成矩陣，並用高斯消去法求秩。基本列運算可找出主元位置的數量，而不改變向量之間的線性關係。當秩等於向量個數時，每個向量都貢獻一個新的主元，向量組線性獨立。當秩小於三時，至少有一個向量多餘，向量組便線性相依。所有向量必須具有相同維度，因為各分量須對應一致的座標位置。 空間維度會形成直接限制。二維空間中的三個向量必定線性相依，因為二維向量組成的矩陣秩最多為二。三維或更高維空間中的三個向量可能線性獨立，但不保證一定如此。常見的標準基底向量 (1, 0, 0)、(0, 1, 0) 與 (0, 0, 1) 線性獨立。相較之下，向量 (1, 2, 3) 與 (2, 4, 6) 位於同一直線方向，因此同時包含兩者的向量組已存在直接的純量倍數關係。 線性獨立性決定座標表示是否唯一、矩陣是否可能可逆，以及方程式是否含有重複資訊。它是解聯立方程式、建立基底、分析變換、模型擬合與訊號分離的基礎。判讀結果時，請比較顯示的秩與輸入向量數。滿秩為三表示線性獨立；任何較小的秩都表示線性相依。支援小數輸入，但極接近零的數值會視為數值零，以避免浮點捨入誤差產生假主元。