垂心計算機

垂心是三角形三條高線的共同交點。高線是通過一個頂點，且垂直於對邊所在直線的直線。畫出三條高線有助於辨認，但計算時只需兩條：兩條不同的高線相交後，第三條必定通過同一個點。這個共點性質是歐幾里得幾何的基本定理。 垂心的位置取決於三角形的角。銳角三角形的三條高線相交於內部。直角三角形的兩條股本身就是互相垂直的高線，因此垂心就是直角頂點。鈍角三角形的高線相交於外部，因為至少兩條對邊需要延長。因此，垂心座標落在三角形外是有效答案，並非計算失敗。 座標幾何將垂直關係轉化為內積。若從頂點 A 到未知點 H 的直線是高線，則向量 H 減 A 必須垂直於邊 BC，兩者內積為零。第二個方程式要求向量 H 減 B 垂直於邊 AC。展開這兩個內積，就得到以 H 的 x、y 座標為未知數的二元一次聯立方程式。計算機直接求解，避免斜率公式對鉛直線所需的特殊處理。 若輸入的三個點共線，就無法構成三角形。此時兩條高線方程式沒有唯一交點，在代數上呈現為行列式等於零。計算機會偵測這種情況，並要求輸入不共線的頂點。重複點也會因相同的幾何原因遭到拒絕。支援小數及負數座標，因此適用於所有象限，也不要求邊與座標軸平行。 垂心是四個經典三角形中心之一。重心是中線的交點，內心是角平分線的交點，外心是中垂線的交點。一般三角形中，這些中心並不重合。重心、外心與垂心位於歐拉線上，位置之間遵循簡單的比例關係。正三角形因對稱性使四個主要中心重合。 此計算機適用於解析幾何、作圖核對、三角形中心練習及電腦圖學。請仔細輸入每個有序數對，確保 x 座標與所屬的 y 座標配對。顯示結果會經過四捨五入以方便閱讀，但方程式以完整的 JavaScript 浮點精度計算。將結果代入任一高線的內積方程式，即可直接驗證。