偽逆矩陣計算器

摩爾–彭羅斯偽逆將反矩陣的概念延伸至矩形矩陣，以及沒有一般唯一反矩陣的系統。它記作 A+，是滿足涉及 A、A+ 及其轉置之四個相容條件的唯一矩陣。對可逆方陣而言，偽逆恰好就是一般反矩陣。對滿秩的高矩陣或寬矩陣而言，它提供最小平方與最小範數計算所需的自然類逆轉換。 本計算器接受逐列輸入的矩陣。元素之間以逗號或空格分隔，各列以分號分隔。若列數不少於行數且各行線性獨立，計算 (A 轉置 A) 的反矩陣乘以 A 轉置。若行數多於列數且各列線性獨立，計算 A 轉置乘以 (A A 轉置) 的反矩陣。這兩種公式都是摩爾–彭羅斯逆的標準滿秩形式。所需方陣的反矩陣採用具主元選取的高斯–喬登消去法計算。 常見應用之一是超定線性系統 A x = b，其中方程式數量多於未知數，沒有向量能精確滿足每個方程式。將 b 左乘 A+，可得到使殘差平方和最小的最小平方解。對滿列秩的欠定系統，A+ 可給出歐幾里得範數最小的精確解。這些特性讓偽逆廣泛應用於迴歸、訊號處理、控制系統、機器人學、數值最佳化、資料擬合及機器學習。 矩陣的秩很重要。方便的正規方程式公式需要各行或各列線性獨立。秩不足會使 A 轉置 A 或 A A 轉置成為奇異矩陣，因此本實作會回報此限制，而非傳回不穩定的數值。一般奇異值分解可僅對高於數值容差的奇異值取倒數，以處理秩不足。對大型、病態或秩不足問題，請使用具備 SVD 演算法的專用數值函式庫，並檢查容差設定。 浮點運算也會影響結果。顯示的元素會四捨五入至小數點後六位，內部計算則保留 JavaScript 雙精度。由於正規方程式會將條件數平方，數值尺度差異過大可能放大捨入誤差。重新縮放各行可能有所幫助，但專業數值運算應優先使用 QR 或 SVD 方法。對課堂範例與小型滿秩矩陣，本計算器可清楚地計算並呈現偽逆，無須手動進行多次矩陣乘法與消去步驟。