逆向FOIL計算器
將二次三項式分解成兩個二項式，了解各係數如何搭配。
三項式因式分解
輸入ax² + bx + c的整數係數。
關於逆向FOIL與三項式因式分解
逆向FOIL是將兩個二項式的乘法反向操作的實用名稱。FOIL代表首項、外項、內項及末項，指展開(px + q)(rx + s)這類式子時產生的四個乘積。合併後可得prx² + (ps + qr)x + qs。逆向FOIL計算器從ax² + bx + c的係數a、b、c出發，尋找滿足pr = a、qs = c及ps + qr = b的整數p、q、r、s。
對於首一三項式，也就是a等於1的情況，方法相當熟悉。要分解x² + 5x + 6，可找出乘積為6、和為5的兩個數。這兩個數是2與3，所以分解結果為(x + 2)(x + 3)。當最高次項係數不是1時，也必須考慮兩個二項式中x的係數。對於2x² - 3x - 2，(x - 2)(2x + 1)可行，因為外項與內項的乘積相加為-3x。
此計算器搜尋精確的整數因式組合，包含負因式及常數為零的情況。它適用於能在整數範圍內完整分解的三項式。如果沒有整數配置能產生中間項係數，工具會顯示無法在整數範圍內分解。這並不表示二次式沒有根，而是可能具有無理數根或複數根，更適合用公式解求得。
因式分解很有用，因為乘積形式能直接顯示二次方程式的零點。如果(x + 2)(x + 3)等於零，依零乘積性質，x為-2或-3。因式分解形式也有助於化簡有理式、描繪拋物線、解多項式不等式及檢查代數運算。務必將二項式相乘來核對結果：首項乘積必須還原ax²，末項乘積必須還原c，兩個交叉乘積合併後必須為bx。
請使用能保留原式的整數輸入。負號應填在係數欄位中；若缺少中間項，則輸入零。無須先提出公因數，因為搜尋仍可找到有效的二項式組合。不過，先辨識最大公因數，通常能讓手算更快，也讓解說更清楚。
逆向FOIL範例
這些三項式涵蓋正負係數、首一式及缺少中間項的情況。
| 三項式 | 因式分解形式 | 成立原因 |
|---|---|---|
| x² + 5x + 6 | (x + 2)(x + 3) | 2 × 3 = 6，且2 + 3 = 5。 |
| 2x² - 3x - 2 | (x - 2)(2x + 1) | 交叉乘積x與-4x合併為-3x。 |
| x² - 9 | (x - 3)(x + 3) | 這是中間項係數為零的平方差。 |
| 3x² - 2x - 5 | (x + 1)(3x - 5) | 交叉乘積3x與-5x合併為-2x。 |
如何使用逆向FOIL計算器
- 找出x²的係數，填入係數a。
- 將x的係數填入b；缺少中間項時輸入零。
- 將含正負號的常數項填入c。
- 選取「計算因式」，搜尋整數因式組合。
- 將顯示的二項式相乘，確認可還原原三項式。
逆向FOIL計算器常見問題
逆向FOIL是什麼意思？
逆向FOIL是將二次三項式還原為兩個二項式的乘積，也就是反向進行首項、外項、內項及末項的乘法展開。
所有三項式都能因式分解嗎？
不是每個三項式都能用整數係數分解。有些需要無理數或複數，此時二次方程式的公式解更適合。
如何處理負常數？
常數為負代表兩個常數因數的正負號相反。符號安排也必須使交叉乘積的和符合中間項係數。
如果缺少中間項怎麼辦？
將係數b輸入為零。計算器會尋找相互抵銷的交叉乘積，例如平方差的情況。
如何檢查因式分解結果？
用FOIL將顯示的二項式相乘並合併同類項。所得係數應與原三項式中的a、b、c完全相同。