LU分解計算器

LU分解將方陣 A 表示為 L 與 U 的乘積。矩陣 L 是下三角矩陣，也就是主對角線上方的元素皆為零；矩陣 U 是上三角矩陣，也就是主對角線下方的元素皆為零。本工具採用杜立特慣例，L 的所有對角元素都等於一。將顯示的兩個因子相乘，即可還原原始輸入矩陣，僅會有一般的浮點捨入誤差。 分解過程以高斯消去法為基礎。原本用來消除主元下方元素的每個消去乘數，都會儲存在 L 中；逐步形成的列階梯矩陣則成為 U。這種安排能保留消去過程，而非將其丟棄。有了 L 與 U，當同一係數矩陣搭配多個不同右側向量時，就能重複利用結果，比每次從頭消去更有效率。 若要求解 A × x = b，先以前向代入法解 L × y = b，再以反向代入法解 U × x = y。三角方程組容易求解，因為每個接續的方程式只增加一個新的未知數。LU因子也可用於計算行列式：L 的對角線為一時，行列式等於 U 對角元素的乘積。矩陣求逆與數值模擬也將此結構作為基本組件。 本計算器接受精簡的矩陣表示法。同一橫列內的數值以逗號或空格分隔，橫列之間以分號分隔。每個橫列的元素數量必須與橫列總數相同，因為此形式的LU分解需要方陣。支援負數與小數。結果只在顯示時四捨五入，消去運算本身使用 JavaScript 雙精度算術。 本實作採用不選主元的杜立特分解，因此消去過程遇到的每個主元都必須非零。有些完全可逆的矩陣一開始的主元為零，分解前需要交換橫列。在完整的數值函式庫中，此操作以置換矩陣 P 表示，關係為 P × A = L × U。若計算器回報主元錯誤，請適當調整橫列順序後再輸入，或使用具主元選擇的求解器。對於條件良好的課堂範例，以及對角主元可用的矩陣，顯示的分解結果清楚且可立即核對。