極分解計算器

極分解將實矩陣A分解為乘積QP。對於非奇異方陣，Q為正交矩陣，P為對稱正定矩陣。正交矩陣保持長度與角度不變，因此代表旋轉或鏡射。正定因子沿互相垂直的主方向伸縮空間，而不加入旋轉。這種分離相當於在矩陣中，把非零複數寫成大小乘以單位方向。 本計算器處理非奇異實數二階矩陣。首先建立對稱的格拉姆矩陣，也就是A的轉置乘以A；該矩陣的正定平方根就是P。二階正定矩陣的平方根可直接由跡與行列式求得，不必使用迭代近似。接著以A乘以P的反矩陣求出Q。顯示的元素四捨五入至小數點後六位，內部計算則保留JavaScript雙精度。 這些因子具有方便核對的恆等關係。除四捨五入誤差外，Q的轉置乘以Q應得到單位矩陣。P等於自身的轉置，且特徵值皆為正。最後，Q乘以P應還原原始矩陣A。輸入單位矩陣時，兩個因子也都是單位矩陣。若矩陣結合四分之一圈旋轉與不等比例的軸向縮放，Q會分離出旋轉，P則記錄兩個伸縮係數。 極分解應用於力學、電腦圖學、數值分析、最佳化與統計。在連續體力學中，它將變形分成剛體旋轉與純伸縮。在電腦圖學中，它有助於從包含縮放或剪切的變換中擷取旋轉。正交Procrustes問題利用極分解因子尋找最接近的正交矩陣；重視幾何結構保留的數值演算法也會使用極迭代。 奇異矩陣也可能有極分解，但正交因子未必唯一，計算時需要額外約定。本互動式計算器僅接受非奇異矩陣，確保P可逆且顯示的分解明確。高度病態的矩陣可能因某個伸縮方向接近零而放大浮點誤差。請將結果作為學習與計算輔助；重要的數值工作應使用支援任意精度或更高維矩陣的軟體複核。