QR分解計算器

QR分解將矩陣A分解為Q與R的乘積。Q的行向量正交歸一，也就是每個直行的長度皆為一，且不同行彼此垂直。R是上三角矩陣，因此主對角線下方的所有元素皆為零。對滿秩方陣而言，將顯示的Q與R相乘即可還原原矩陣，僅可能因小數四捨五入產生些微差異。本計算器針對實數2乘2矩陣進行此分解。 計算採用經典的格拉姆－施密特程序，依序處理A的各直行。首先計算第一行的歐幾里得長度。將該行除以其長度，可得到Q的第一個單位向量，而此長度成為R的第一個對角元素。接著，將第二行投影到第一個單位向量上。減去投影後得到垂直向量，將其歸一化，即可建立Q的第二行。投影係數與第二個向量的長度共同補齊上三角矩陣R。 QR分解是數值線性代數的核心工具。它可用於方程式數量多於未知數的超定系統中的最小平方法擬合，也用於求特徵值的演算法。正交變換保留長度，通常不像直接運算那樣容易放大捨入誤差，因此適合數值計算。本頁著重二維情形，方便檢視每一步，但相同的直行正交化概念也能延伸到更大的長方形矩陣。 若要產生兩個單位向量，輸入的兩個直行必須線性獨立。全零的第一行無法歸一化；若第二行只是第一行的倍數，扣除投影後便不再有垂直方向。這類矩陣秩不足，不具有此處採用的完整QR形式。QR分解也可能因正負號而異：將Q的一行與R對應的橫列同時變號，乘積仍保持不變。本計算器以非負長度作為R的對角元素，提供穩定且一致的結果比較慣例。