Arctan 計算機 - 反正切函數

反正切函數，寫作 arctan（x） 或 tan⁻¹（x），是切函數的反函數。給定任意實數 x，arctan（x） 回傳正切值等於 x 的角度 θ。與反正弦和反正弦不同，反正切函數對所有實數定義——沒有定義域限制——因為切函數取所有實數值，x 範圍從 -90° 到 90°。 Arctan 的輸出在開區間（度數為 -90°、90°），弧度則為 （-π/2， π/2）。請注意，這些端點被排除：arctan 永遠不會完全等於 ±90°，因為當角度接近這些極限時，切函數趨近無限大，意味著沒有任何有限 x 會得到 90° 的結果。當 x → ∞時，arctan（x） → 90°，當 x → -∞時，arctan（x） → -90° 。 Arctan 是反三角函數中最常用的，應用範圍極廣。在幾何學中，若你知道直角三角形相對與相鄰邊的長度，該角即為 arctan（對/相鄰角）。例如，斜率為 1（上升等於 run）對應 arctan（1） = 45° 的角度。斜率為 2 則為 arctan（2） ≈ 63.43°。 在電腦圖形與遊戲開發中，arctan 用於從 x 和 y 分量中求出2D 向量的角度。atan2（y， x） 函數（幾乎所有程式語言皆有）透過檢查兩個分量的符號來擴展 arctan，以處理四個象限，回傳的值範圍涵蓋完整範圍（-180°、180°）。 在訊號處理與控制理論中，Arctan 出現在相位計算中：複數 a bi 的相位為 arctan（b/a） 。 在導航中，兩個地理座標之間的方位是利用經緯差的 arctan 計算的。在物理學中，擺錘或折射線的角度以 arctan 的精確形式涉及。 關鍵值：arctan（0） = 0°，arctan（1） = 45°，arctan（-1） = -45°，arctan（√3） = 60°，arctan（1/√3） = 30° 。 這些數值來自標準三角形，值得記憶。函數為奇數 — arctan（-x） = -arctan（x）——因此負值即為相應正角的負值。 Arctan 與 π 之間的關係在數學中非常有名。 π 狀態的萊布尼茲公式：π/4 = 1 - 1/3 1/5 - 1/7 ... = arctan（1）。更高效的公式如 Massin 的公式 π/4 = 4·arctan（1/5） - arctan（1/239））歷史上被用來手動計算許多位數的π。