兩個向量之間的角度計算機 - 2D 和 3D

兩個向量之間的角度是線性代數和幾何中的基本量，它表示兩個尾對尾放置在公共原點的方向量之間的角度間隔。與經典歐幾里得幾何中的線之間的角度不同，向量之間的角度始終是兩個可能角度中較小的一個，限制在從 0° 到 180° （或 0 到 π 弧度）的範圍內。此約定確保任何非零向量對都有唯一的、明確的結果。 計算基於點積，這是線性代數中最重要的運算之一。對於兩個向量 A 和 B，點積在代數上定義為它們相應分量的乘積之和：二維中的 A · B = Ax·Bx + Ay·By，或三維中的 A · B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz。點積還具有幾何解釋：A · B = |A| × |B| × cos(θ)，其中 |A| 和 |B| 是向量的歐幾里德大小（長度），θ 是它們之間的角度。結合這兩個定義並求解 θ 給出基本公式：θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|))。 這個公式有幾個優雅的特性。如果點積為零，則 cos(θ) = 0，即 θ = 90°，向量垂直（正交）。如果點積等於幅值的乘積，則 cos(θ) = 1 和 θ = 0°，意味著向量指向同一方向（平行）。如果點積等於幅值的負積，則 cos(θ) = −1 和 θ = 180°，這意味著向量指向相反的方向（反平行）。只需擴展分量和，該公式就可以自然地推廣到 n 維空間。 向量之間的角度在整個物理學和工程學中都會出現。在經典力學中，力 F 對位移 d 所做的功為 W = F · d = |F| × |d| × cos(θ)，其中 θ 是力向量和位移向量之間的角度。當 θ = 0° 時，力與運動完全一致並做最大功；當 θ = 90° 時，力垂直於運動並且做零功。在計算機圖形學中，表面照明使用表面法線與入射光方向之間的角度，透過蘭伯特餘弦定律計算表面的照明亮度。在機器學習中，兩個特徵向量之間的餘弦相似度與它們之間的角度直接相關，並衡量它們的方向的相似程度，而不管大小。 在數值上，當 arccos 函數的參數非常接近 1 or −1 （對應於幾乎平行或反平行向量）時， arccos 函數可能會失去精度。在高精度軟體中，這是透過將餘弦參數限制在有效範圍 [−1, 1] 之前將其傳遞給 arccos 來處理的，該計算機會自動執行此操作。對於需要有符號角度（區分順時針和逆時針）的 2D 問題，帶有叉積的 atan2 函數優於點積方法，儘管此計算機報告的無符號角度與數學定義一致。