兩平面交線計算機
求出三維空間中兩平面交線上的點、方向向量與參數式。
輸入兩個平面方程式
使用 ax + by + cz + d = 0 形式的係數。
關於兩平面的交線
三維空間中，兩個不平行的平面相交於一直線。本計算機接受 ax + by + cz + d = 0 標準形式的平面方程式，傳回交線上的一個點、方向向量與向量參數式。四個係數描述各平面的方向與偏移。將同一方程式的所有係數乘以相同的非零數，不會改變該平面。
交線方向由兩個平面法向量的外積決定。方程式為 ax + by + cz + d = 0 的平面，其法向量為 (a, b, c)。同時垂直於兩個法向量的向量必然平行於兩個平面，因此 n1 與 n2 的外積可作為交線方向。接著，計算機固定一個座標，聯立求解其餘兩個方程式，找出交線上一個便於表示的點。將顯示的方向向量乘以任意非零純量，都表示同一條幾何直線；換用其他點也可能描述相同答案。
若外積為零向量，表示法向量平行。此時，兩個平面要麼相異且永不相交，要麼重合並共有無限多條直線。這兩種情況都沒有唯一交線，因此計算機會顯示相關提示，而非產生不存在的結果。對於極小數值，計算機會謹慎處理，避免浮點運算造成負零顯示。
交線廣泛出現在解析幾何、電腦圖學、CAD、結構建模與多變數微積分中。將顯示的點代入兩個原始方程式即可驗證結果。也可在該點上加上方向向量的任意倍數，所得的每組三維座標都應滿足兩個平面方程式。參數式特別適合求點、判斷與其他物件的交點，或在所有方向分量皆非零時轉換為對稱式。
範例
以下平面組合展示常見的相交情況。
| 平面方程式 | 交線 | 驗證 |
|---|---|---|
| x + y + z - 1 = 0; x - y + z - 1 = 0 | r = (0, 0, 1) + t(2, 0, -2) | 交線上的各點使兩方程式左側皆為零。 |
| x + y - 2 = 0; z - 3 = 0 | r = (2, 0, 3) + t(1, -1, 0) | 交線始終位於水平面 z = 3 內。 |
| x = 0; y = 0 | r = (0, 0, 0) + t(0, 0, 1) | 兩個座標平面相交於 z 軸。 |
如何使用計算機
- 將每個平面方程式的所有項移至左側，使右側為零。
- 輸入平面 1 的 x、y、z 係數與常數項。
- 輸入平面 2 對應的四個係數。
- 選擇「計算交線」，取得點、方向向量與參數式。
常見問題
如何求出方向向量？
計算機取兩個法向量的外積。結果同時垂直於兩個法向量，因此平行於兩個平面。
為什麼我的答案可能與另一個正確答案不同？
直線上有無限多個點，方向向量也能乘以任意非零純量。因此，看起來不同的參數式可能描述完全相同的直線。
平面平行時會怎樣？
平行法向量的外積為零，無法計算唯一方向。相異的平行平面不相交，而重合平面共有無限多條直線。
如何驗證結果？
將顯示的點代入兩個平面方程式，確認各運算式皆等於零。再檢查各平面法向量與方向向量的內積是否為零。
係數 d 一定要是負數嗎？
不必，d 可以是正數、負數或零。只要按照 ax + by + cz + d = 0 的形式正確輸入方程式即可。