反矩陣計算機

方陣的反矩陣作用類似非零數的倒數。矩陣乘以其反矩陣會得到單位矩陣，主對角線上的元素為一，其餘為零。本計算機可求 2 列 2 行實矩陣的反矩陣，並顯示行列式。四個輸入值分別對應左上、右上、左下與右下位置。 對於逐列排列元素為 a、b、c、d 的 2 列 2 行矩陣，行列式為 ad 減 bc。行列式可判斷矩陣變換是否將面積壓縮為零，以及變換能否反轉。若行列式非零，先交換 a 與 d，將 b 與 c 變號，再把所得每個元素除以行列式，即可得到反矩陣。 行列式為零代表矩陣為奇異矩陣，沒有反矩陣。幾何上，奇異的 2 列 2 行變換會將平面壓縮成直線或一個點，失去無法重建的資訊。代數上，其列或行線性相依。因為不能除以零行列式，計算機會明確指出奇異情況，而非顯示無窮大或未定義的元素。 反矩陣可用於解線性方程組。如果矩陣 A 乘以未知向量 x 得到 b，且 A 可逆，則兩邊左乘 A 的反矩陣，可得 x 等於 A 的反矩陣乘以 b。實務數值計算通常優先採用消去法或矩陣分解，而不直接計算反矩陣。不過，求逆公式仍有助於學習、核對小型範例及理解可逆線性變換。 行列式也描述有向面積的縮放。行列式絕對值為 3 時，面積變為原來的三倍；負行列式還會反轉方向。反變換的面積縮放比例為原行列式絕對值的倒數。行列式非常接近零時，反矩陣元素可能變得很大，提示矩陣可能病態，輸入的微小變動可能引起輸出的顯著改變。 本工具接受整數與小數，並將顯示結果四捨五入至實用的小數位數。四捨五入只影響顯示，公式仍直接使用輸入的數值。三分之一等分數可能以四捨五入後的有限小數呈現。如需精確分數，可保留行列式公式，手動將各分子寫成以 ad 減 bc 為分母的形式。 將原矩陣乘以顯示的反矩陣即可核對答案。除一般小數四捨五入誤差外，左上與右下位置的內積應為一，其餘兩個位置應為零。另一種快速檢查方式是確認反矩陣的行列式等於原行列式的倒數。這些性質可協助找出元素順序或正負號錯誤。