矩陣跡計算器

方陣的跡是從左上角到右下角的主對角線上所有元素的總和。對於主對角線元素為 a 與 d 的 2 × 2 矩陣，其跡就是 a 加 d。非對角線元素不直接參與加總，因此跡是計算速度最快的重要矩陣量之一。 跡只對方陣定義，因為只有方陣的主對角線能將每一橫列與對應的直行一一配對。結果是一個純量，可以是正值、負值或零。跡為零不代表矩陣是零矩陣或奇異矩陣，也可能只是正負對角線元素互相抵銷。 跡具有多項實用的代數性質。它具有線性，因此 A 加 B 的跡等於 A 的跡加上 B 的跡，矩陣乘以某個係數時，其跡也會乘以同一係數。跡在相似變換下也保持不變。相似矩陣是在不同基底下對同一線性變換的表示，而它們的跡相同，因此跡是一種不依賴座標選擇的概括量。 另一個重要恆等式是：只要 A 乘 B 與 B 乘 A 都有定義且為方陣，兩個乘積的跡便相等。矩陣乘法本身不符合交換律，但跡允許這種循環重排。對於更長的乘積，可循環移動因子而不改變跡。這項性質常見於統計、最佳化及量子力學。 跡也等於矩陣所有特徵值依代數重數計算後的總和，即使特徵值是複數也成立。它出現在特徵多項式、散度計算、共變異數分析、二次型期望值及量子態描述中。在微分方程中，跡有助於描述動力系統的局部膨脹或收縮。 本計算器會檢查每一橫列的長度是否相同，以及矩陣是否為方陣，再直接加總對角線元素。支援整數、負數及小數。每個對角線元素只需參與一次加法，因此即使矩陣規模增大，計算仍然快速。顯示值僅為去除無意義的浮點誤差而進行四捨五入。