精簡列梯形計算器

使用高斯喬登消去法，將 2 列 3 行矩陣轉為精簡列梯形，快速讀取二元線性方程組的解。

精簡列梯形矩陣求解器
由左至右輸入 2 列 3 行矩陣的六個數值。

關於精簡列梯形

精簡列梯形通常縮寫為 RREF，是矩陣的標準形式，方便讀取其關鍵資訊。矩陣符合精簡列梯形時，每個非零列的第一個非零元素為 1；每個首項 1 是所在行唯一的非零元素；往下各列的首項位置逐漸向右移；全零列則位於最底部。這些條件讓每個矩陣都有唯一的精簡列梯形，即使可透過不同順序的列運算得到。 本計算器對兩列三行矩陣執行高斯喬登消去法。這種形狀尤其適合表示兩個未知數、兩條線性方程的增廣矩陣：前兩行放係數，最後一行放常數。演算法先尋找非零樞紐，必要時交換列，再將樞紐列除以樞紐值，使樞紐變成一，接著消去該樞紐所在行的其他元素。由左至右重複此步驟，直到無法再建立新的樞紐。 初等列運算不會改變增廣矩陣所代表的解集合。可以交換兩列、將一列乘以非零常數，或把一列的倍數加到另一列。例如，由 [1, 2, 5] 與 [3, 4, 11] 兩列組成的矩陣，可化簡成 [1, 0, 1] 與 [0, 1, 2]。解讀為方程時，可直接得知 x 等於 1，y 等於 2。 精簡列梯形也能揭示沒有唯一解的方程組。零列可能表示方程相依；若至少有一個自由變數且方程組相容，就有無限多組解。若某列的係數全為零，但增廣值非零，便代表矛盾，因此無解。除了求解方程，精簡列梯形也可用來求矩陣秩、辨識樞紐行與自由行、檢驗線性獨立性及找出向量空間的基底。顯示值僅為便於閱讀而取位；消去運算使用 JavaScript 浮點數的完整精度。

精簡列梯形範例

這些矩陣示範唯一解、相依方程及已化簡的方程組。

輸入矩陣精簡列梯形意義
[1, 2, 5]; [3, 4, 11][1, 0, 1]; [0, 1, 2]唯一解為 x = 1，y = 2。
[1, 2, 3]; [2, 4, 6][1, 2, 3]; [0, 0, 0]第二條方程與第一條相依，留下一個自由變數。
[1, 0, 4]; [0, 1, -2][1, 0, 4]; [0, 1, -2]矩陣已是精簡列梯形，可得 x = 4，y = -2。

如何計算精簡列梯形

  1. 依列與行的標籤，在對應位置輸入各矩陣元素。
  2. 表示兩條線性方程時，將常數放在第三行。
  3. 選取「計算精簡列梯形」，執行高斯喬登消去法。
  4. 從化簡矩陣讀取樞紐、零列及解的數值。

精簡列梯形計算器常見問題

列梯形與精簡列梯形有何差別？

列梯形要求每個樞紐下方為零，精簡列梯形還要求每個樞紐上方也為零。因此精簡列梯形更能直接呈現解，且對給定矩陣是唯一的。

精簡列梯形能解聯立方程嗎？

可以。將係數與常數輸入為增廣矩陣。每個變數行都有樞紐時，便有唯一解，可從最後一行讀取。

全零列代表什麼？

零列表示某條原方程沒有增加獨立資訊。若某個變數行沒有樞紐，且方程組相容，就至少有一個自由變數及無限多組解。

計算器如何處理小數？

消去運算使用雙精度浮點數。接近零的結果會歸零，顯示時最多保留八位小數，方便閱讀。

允許哪些列運算？

可以交換列、將一列乘以非零數，或將一列的倍數加到另一列。每種運算都維持所代表線性方程組的解集合不變。