角度計算器 - 向量、點與斜率

角度是數學、物理和工程中最基本的測量之一。它們量化了共享共同端點的兩條射線之間的旋轉量，並以度數（完整旋轉為 360°）或弧度（完整旋轉為 2π ≈ 6.283）來測量。本頁的角度計算器提供三種不同的方法來計算角度，每種方法適用於不同類型的幾何問題。 第一種方法，兩向量之間的角度，是最通用的方法，使用點積公式：θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|))。點積 A · B 對於 2D 向量等於 Ax·Bx + Ay·By。向量的大小 |A| 和 |B| 是向量的歐幾里得長度。這種方法測量放在共同原點的兩個方向量之間的角分離，結果範圍在 [0°, 180°]。它是線性代數、物理學（功、力矩、投影）以及電腦圖形學（照明、反射、折射）的標準方法。 第二種方法，三點角法，用於計算由射線 BA 和 BC 形成的頂點 B 的內角。它首先構建兩個方向向量——一個從 B 到 A，另一個從 B 到 C——然後將向量應用點積公式。此方法用於計算幾何學、機器人路徑規劃，以及任何有明確坐標位置而非方向向量的情境。例如，給定三個 GPS 坐標，該方法可以計算中間點的航向角。 第三種方法，座標斜率法，計算從原點到某一點 (x, y) 的直線與正 x 軸所成的角度。數學上這表示為 θ = arctan(y/x)，但實作中使用 atan2 函數以正確處理所有四個象限，並返回完整 [−180°, 180°] 範圍內的結果。這是標準的極角或複數的幅角，它出現在極座標轉換、信號相位分析和航向計算中。 這三種方法都以度數和弧度表示結果，因此您可以在任何公式中直接使用它們，而不管所使用的單位慣例。度數對幾何推理來說更直觀；而在微積分、傅立葉分析以及大多數程式數學函數中則需要使用弧度。公式 rad = deg × π / 180 可以在兩者之間轉換，而這個計算器會同時顯示兩者，以避免轉換錯誤。