Калькулятор парадокса дней рождения

Парадокс дней рождения ставит вопрос: насколько вероятно, что хотя бы у двух человек в группе день рождения приходится на одну дату? Результат кажется неожиданным, потому что люди часто сравнивают одного выбранного человека со всеми остальными. На самом деле задача учитывает все возможные пары. В группе из 23 человек есть 253 пары, поэтому возможностей для совпадения много, хотя в календаре 365 возможных дней рождения. В стандартной модели уже для 23 человек вероятность хотя бы одного совпадения немного превышает 50 процентов. Проще всего начать с противоположного события: у всех дни рождения разные. У первого человека день рождения может быть в любую дату. Второй должен избежать этой даты, что даёт множитель 364/365. Третий должен избежать двух занятых дат, что даёт 363/365, и умножение продолжается для всей группы. Если вычесть это произведение из единицы, получится вероятность хотя бы одного совпадения. Формула имеет вид P(match) = 1 - (365/365)(364/365)...((365-n+1)/365), где n — размер группы. Калькулятор использует обычную упрощённую модель дней рождения. Все 365 календарных дат считаются равновероятными, високосный день не учитывается, а рождения предполагаются независимыми. Реальная статистика не вполне равномерна: на ежедневную рождаемость влияют сезонность, праздники, плановые роды и демографические особенности. Эти различия обычно немного повышают вероятность совпадений, но стандартная модель подходит для уроков теории вероятностей, вопросов на собеседованиях, учебных демонстраций и примерного планирования. Вероятность быстро растёт. Для 10 человек она составляет около 11.7 процента, для 23 — около 50.7 процента, для 30 — около 70.6 процента, а для 50 превышает 97 процентов. Чтобы превысить 99 процентов, требуется 57 человек. Такой быстрый рост иллюстрирует общий принцип коллизий, применяемый в хешировании, криптографии, идентификаторах баз данных и контроле качества: когда много объектов распределяется по ограниченному числу категорий, повторы становятся вероятными гораздо раньше, чем подсказывает интуиция. Воспринимайте результат как вероятность, а не как предсказание того, у кого совпадут дни рождения или какая дата повторится. Вероятность 50.7 процента означает, что среди множества сопоставимых групп по 23 человека чуть больше половины имели бы хотя бы одно совпадение. В конкретной группе совпадений может не быть, может совпасть одна пара или повториться несколько дат. Калькулятор точно отвечает на вопрос о вероятности хотя бы одного совпадения при указанных выше допущениях.