Калькулятор парадокса ящиков Бертрана

Парадокс ящиков Бертрана — классическая задача на условную вероятность. В стандартном варианте три ящика содержат по две монеты: один — две золотые, другой — золотую и серебряную, третий — две серебряные. Ящик выбирают равновероятно, затем равновероятно извлекают монету, и она оказывается золотой. Какова вероятность, что невидимая монета в выбранном ящике тоже золотая? Быстрая, но неверная интуиция подсказывает одну вторую, поскольку возможны только ящики «золото–золото» и «золото–серебро». Упущено то, что после наблюдения золотой монеты эти два ящика не равновероятны. В ящике «золото–золото» две монеты могут дать такое наблюдение, а в смешанном — лишь одна. Из трёх равновероятных золотых исходов два относятся к ящику «золото–золото». Поэтому условная вероятность второй золотой монеты равна 2/3, или примерно 66.67%. Наблюдение меняет относительную вероятность ящиков — это главный смысл парадокса. Калькулятор обобщает задачу, позволяя задать несколько ящиков каждого типа. При G ящиках «золото–золото» и M ящиках «золото–серебро» первая группа даёт 2G золотых исходов, а смешанная — M. При условии наблюдения золота вероятность выбора ящика «золото–золото» равна 2G, делённому на 2G + M. Ящики «серебро–серебро» не входят в формулу, поскольку не могут дать золотую монету, хотя до наблюдения они остаются частью эксперимента. Задача наглядно показывает теорему Байеса, эффекты отбора и важность подсчёта исходов с учётом имеющихся данных. Она напоминает интерпретацию медицинских тестов, выборочный контроль качества и другие ситуации, где одно наблюдение вероятнее при одной скрытой причине, чем при другой. Ответ зависит от предположений о выборе: все ящики должны выбираться с одинаковой вероятностью, как и обе монеты внутри выбранного ящика. Если вероятности различаются, веса нужно учитывать явно. Меняйте количества, чтобы увидеть, как добавление ящиков одного типа меняет апостериорную вероятность при том же условном рассуждении.