Калькулятор бета-распределения

Бета-распределение — непрерывное распределение вероятностей на интервале от нуля до единицы. Два положительных параметра формы, обычно называемые альфа и бета, определяют его вид. Гибкость формы позволяет моделировать вероятности, доли, конверсию, надёжность и другие величины с естественными нижней и верхней границами. Если оба параметра равны единице, плотность равномерна. Равные значения больше единицы дают симметричную вершину, а неравные — левую или правую асимметрию. Плотность равна произведению x в степени альфа минус один и единицы минус x в степени бета минус один, делённому на бета-функцию B(альфа, бета). Плотность показывает относительную концентрацию вблизи точки, а не вероятность получить ровно это значение непрерывной величины. Функция распределения даёт вероятность того, что бета-распределённая случайная величина не превышает x. Калькулятор вычисляет CDF через регуляризованную неполную бета-функцию и показывает PDF и CDF в заданной точке. Несколько полезных характеристик выводятся прямо из параметров. Среднее равно альфа, делённому на сумму альфа и бета. Дисперсия — произведение альфа и бета, делённое на произведение квадрата их суммы и величины альфа плюс бета плюс один. Если оба параметра больше единицы, внутренняя мода равна альфа минус один, делённому на альфа плюс бета минус два. Если хотя бы один параметр не больше единицы, максимальная плотность может находиться на одной или обеих границах, поэтому калькулятор помечает простую внутреннюю моду как неопределённую. Бета-распределение важно в байесовском выводе: оно является сопряжённым априорным распределением для правдоподобий Бернулли и биномиального. Априорное Beta(alpha, beta) после s успехов и f неудач становится Beta(alpha + s, beta + f). Это даёт эффективные и понятные вероятностные модели долей, отражающие неопределённость, а не только точечную оценку. Распределение также встречается в проектном моделировании, порядковых статистиках и генерации случайных чисел. Выбирайте параметры по задаче и помните: альфа и бета задают форму, а не вероятности. PDF служит для сравнения относительной плотности, CDF — для вероятности относительно порога, моменты — для описания положения и разброса.