Калькулятор угла между двумя векторами — 2D и 3D

Угол между двумя векторами является фундаментальной величиной в линейной алгебре и геометрии, которая выражает угловое расстояние между двумя направленными величинами, расположенными хвост к хвосту в общем начале координат. В отличие от углов между линиями в классической евклидовой геометрии, угол между векторами всегда является меньшим из двух возможных углов и ограничен диапазоном от 0° до 180° (или от 0 до π радиан). Это соглашение гарантирует уникальный однозначный результат для любой пары ненулевых векторов. Вычисления основаны на скалярном произведении, одной из наиболее важных операций в линейной алгебре. Для двух векторов A и B скалярное произведение определяется алгебраически как сумма произведений их соответствующих компонентов: A · B = Ax·Bx + Ay·By в двух измерениях или A · B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz в трех измерениях. Скалярное произведение также имеет геометрическую интерпретацию: A · B = |A| × |B| × cos(θ), где |A| и |B| — евклидовы величины (длины) векторов, а θ — угол между ними. Объединение этих двух определений и решение θ дает фундаментальную формулу: θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|)). Эта формула имеет несколько элегантных свойств. Если скалярное произведение равно нулю, то cos(θ) = 0, что означает θ = 90°, и векторы перпендикулярны (ортогональны). Если скалярное произведение равно произведению величин, то cos(θ) = 1 и θ = 0°, что означает, что векторы указывают в одном направлении (параллельно). Если скалярное произведение равно отрицательному произведению величин, то cos(θ) = −1 и θ = 180°, что означает, что векторы направлены в противоположные стороны (антипараллельны). Формула естественным образом обобщается на n-мерные пространства просто путем расширения сумм компонентов. Углы между векторами возникают в физике и технике. В классической механике работа силы F над перемещением d равна W = F · d = |F| × |d| × cos(θ), где θ — угол между векторами силы и перемещения. Когда θ = 0° сила полностью соответствует движению и совершает максимальную работу; когда θ = 90° сила перпендикулярна движению и совершает нулевую работу. В компьютерной графике поверхностное освещение использует угол между нормалью поверхности и направлением падающего света, чтобы вычислить, насколько ярко освещена поверхность, с помощью закона косинуса Ламберта. В машинном обучении косинусное сходство между двумя векторами признаков напрямую связано с углом между ними и измеряет, насколько схожи их направления независимо от величины. В числовом отношении функция arccos может потерять точность, если ее аргумент очень близок к 1 or −1 (что соответствует почти параллельным или антипараллельным векторам). В высокоточном программном обеспечении это решается путем привязки аргумента косинуса к допустимому диапазону [−1, 1] перед передачей его в arccos, что калькулятор делает автоматически. Для задач 2D, где необходим угол со знаком (отличие по часовой стрелке от против часовой стрелки), функция atan2 с векторным произведением предпочтительнее метода скалярного произведения, хотя этот калькулятор сообщает угол без знака, соответствующий математическому определению.