Калькулятор опорного угла

Найдите острый опорный угол для любого положительного, отрицательного или котерминального угла в градусах или радианах.

Рассчитать опорный угол
Введите угол и выберите единицу измерения.

Об опорных углах

Опорный угол — наименьший положительный угол между конечной стороной исходного угла и горизонтальной осью x. Обычно он острый; рассматривается диапазон от нуля до 90 градусов, а углы на осях считаются граничными случаями. Опорные углы позволяют свести тригонометрическую задачу с большим, отрицательным или непривычным углом к простому углу первой четверти. Модули синуса, косинуса и тангенса совпадают со значениями для опорного угла; только знаки зависят от исходной четверти. При необходимости калькулятор сначала переводит радианы в градусы, затем находит котерминальный угол от 0 градусов до 360 градусов, не включая верхнюю границу. Нормализация учитывает любое число полных оборотов. Например, минус 210 градусов превращается в 150 градусов после прибавления 360 градусов, а 510 градусов также превращается в 150 градусов после вычитания полного оборота. Поэтому у обоих углов опорный угол равен 30 градусам. После нормализации формулу определяет четверть. В I четверти опорный угол равен нормализованному. Во II четверти угол вычитают из 180 градусов. В III четверти из угла вычитают 180 градусов. В IV четверти угол вычитают из 360 градусов. Угол на оси имеет граничный опорный угол ноль или 90 градусов и не находится строго внутри четверти. Если входная единица — радианы, калькулятор переводит итоговый опорный угол обратно в радианы для основного результата, а нормализованное положение дополнительно показывает в градусах. Опорные углы полезны для нахождения точных значений тригонометрических функций, решения уравнений, построения периодических графиков и проверки координат на единичной окружности. Например, опорный угол для 150 градусов равен 30 градусам. Во II четверти синус положителен, поэтому sin 150 градусов равен sin 30 градусов, то есть одной второй. Косинус там отрицателен, поэтому cos 150 градусов равен минус cos 30 градусов. Калькулятор выполняет геометрическое приведение; для завершения вычисления функции примените правила знаков в четвертях. Результаты вычисляются с точностью чисел с плавающей точкой и округляются до восьми знаков после запятой только при отображении.

Примеры опорных углов

В каждом примере угол сначала нормализуется, затем измеряется до ближайшего направления горизонтальной оси.

Заданный уголОпорный уголРасчёт
150 градусов30 градусовII четверть: 180 - 150 = 30.
225 градусов45 градусовIII четверть: 225 - 180 = 45.
-60 градусов60 градусовКотерминальный угол равен 300 градусам и находится в IV четверти.
5π/3 радианπ/3 радианУгол равен 300 градусам, поэтому 360 - 300 = 60 градусов.

Как найти опорный угол

  1. Введите исходный угол, при необходимости отрицательный или содержащий несколько оборотов.
  2. Выберите градусы или радианы в соответствии с введённым значением.
  3. Нажмите «Рассчитать опорный угол», чтобы нормализовать угол.
  4. Посмотрите острый опорный угол и четверть исходного угла.

Вопросы об опорных углах

Опорный угол всегда положительный?

Да, он представляет неотрицательный геометрический угол с осью x. Углы внутри четвертей имеют острые опорные углы, даже если исходный угол отрицательный.

Как найти опорный угол в каждой четверти?

В I четверти оставьте угол без изменений, во II вычтите его из 180 градусов, в III вычтите из него 180, в IV вычтите его из 360. Сначала нормализуйте исходный угол в пределах одного оборота.

Принимает ли калькулятор углы больше 360 градусов?

Да. Полные обороты автоматически удаляются с помощью котерминальных углов. Так же обрабатываются углы меньше минус 360 градусов.

Что происходит с углом на оси?

Результат — граничный угол ноль или 90 градусов, а положение указывается как ось. Таким углам не назначается четверть.

Чем полезны опорные углы в тригонометрии?

Они связывают любой угол со знакомым углом первой четверти с теми же модулями тригонометрических функций. Затем применяется знак, соответствующий исходной четверти.