Калькулятор прямой пересечения двух плоскостей

Найдите точку, направляющий вектор и параметрическое уравнение общей прямой двух плоскостей в 3D.

Введите уравнения двух плоскостей
Используйте коэффициенты уравнения ax + by + cz + d = 0.
Плоскость 1
Плоскость 2

О прямой пересечения плоскостей

Две непараллельные плоскости в трёхмерном пространстве пересекаются по прямой. Калькулятор принимает каждую плоскость в стандартном виде ax + by + cz + d = 0 и возвращает точку на общей прямой, направляющий вектор и параметрическое векторное уравнение. Четыре коэффициента описывают ориентацию и смещение каждой плоскости. Умножение всех коэффициентов одного уравнения на одно и то же ненулевое число не меняет плоскость. Направление прямой пересечения определяется векторным произведением нормалей к двум плоскостям. Плоскость ax + by + cz + d = 0 имеет нормальный вектор (a, b, c). Вектор, перпендикулярный обеим нормалям, параллелен обеим плоскостям, поэтому векторное произведение n1 и n2 даёт подходящее направление прямой. Затем калькулятор фиксирует одну координату и решает оставшуюся систему из двух уравнений, чтобы найти удобную точку на прямой. Любое ненулевое скалярное кратное показанного направляющего вектора задаёт ту же геометрическую прямую; другая точка также может описывать тот же ответ. Если векторное произведение равно нулевому вектору, нормали параллельны. Тогда плоскости либо различны и не пересекаются, либо совпадают и имеют бесконечно много общих прямых. Ни в одном случае нет единственной прямой пересечения, поэтому калькулятор сообщает об этом, а не создаёт вымышленный результат. Очень малые значения обрабатываются аккуратно, чтобы не выводить отрицательный ноль из-за арифметики с плавающей точкой. Прямые пересечения используются в аналитической геометрии, компьютерной графике, САПР, моделировании конструкций и многомерном анализе. Результат можно проверить подстановкой показанной точки в оба исходных уравнения. Можно также прибавить к этой точке любое кратное направляющего вектора: каждая полученная тройка координат должна удовлетворять обоим уравнениям. Параметрическая форма особенно удобна для поиска точек, проверки пересечений с другими объектами и перехода к канонической форме, если все компоненты направления ненулевые.

Примеры

Эти пары плоскостей показывают распространённые варианты пересечения.

Уравнения плоскостейПересечениеПроверка
x + y + z - 1 = 0; x - y + z - 1 = 0r = (0, 0, 1) + t(2, 0, -2)На всей прямой обе левые части равны нулю.
x + y - 2 = 0; z - 3 = 0r = (2, 0, 3) + t(1, -1, 0)Прямая лежит в горизонтальной плоскости z = 3.
x = 0; y = 0r = (0, 0, 0) + t(0, 0, 1)Две координатные плоскости пересекаются по оси z.

Как пользоваться калькулятором

  1. Перепишите каждое уравнение так, чтобы все слагаемые были слева, а справа стоял ноль.
  2. Введите коэффициенты при x, y, z и свободный член для плоскости 1.
  3. Введите соответствующие четыре коэффициента для плоскости 2.
  4. Нажмите «Найти пересечение», чтобы получить точку, направление и параметрическое уравнение.

Часто задаваемые вопросы

Как находится направляющий вектор?

Калькулятор вычисляет векторное произведение двух нормальных векторов. Результат перпендикулярен обеим нормалям и потому параллелен обеим плоскостям.

Почему мой ответ может отличаться от другого правильного ответа?

На прямой бесконечно много точек, а её направляющий вектор можно умножить на любой ненулевой скаляр. Поэтому разные на вид параметрические уравнения могут описывать одну и ту же прямую.

Что происходит, если плоскости параллельны?

Векторное произведение параллельных нормалей равно нулю, поэтому единственное направление найти нельзя. Различные параллельные плоскости не пересекаются, а совпадающие имеют бесконечно много общих прямых.

Как проверить результат?

Подставьте показанную точку в оба уравнения и убедитесь, что каждое выражение равно нулю. Затем проверьте, что скалярное произведение каждой нормали с направляющим вектором равно нулю.

Коэффициент d обязательно должен быть отрицательным?

Нет, d может быть положительным, отрицательным или нулевым. Просто вводите уравнение строго в виде ax + by + cz + d = 0.