Калькулятор синтетического деления

Разделите многочлен на линейный делитель и сразу получите коэффициенты частного и остаток.

Синтетическое деление многочленов
Введите коэффициенты по убыванию степеней, включая нули для отсутствующих степеней.

Разделяйте коэффициенты запятыми и вводите ноль для каждой отсутствующей степени.

Для делителя вида x минус c введите c с его знаком.

О синтетическом делении

Синтетическое деление — компактный способ деления многочлена на линейное выражение со старшим коэффициентом, равным единице. Вместо многократной записи переменных и степеней при делении в столбик метод работает только с упорядоченными коэффициентами. Для делителя x минус c число c участвует в каждом умножении и сложении. Последняя строка содержит коэффициенты частного, а за ними — остаток. Сначала старший коэффициент переносят без изменений. Его умножают на c и прибавляют произведение к следующему коэффициенту. Новую сумму снова умножают на c и прибавляют к следующему коэффициенту, пока не будут использованы все коэффициенты. Все значения, кроме последнего, задают многочлен на одну степень ниже исходного. Последнее значение — остаток. Калькулятор выполняет эти шаги по схеме Горнера и выводит результат с округлением до шести знаков после запятой. Порядок коэффициентов принципиально важен. Сначала введите коэффициент при наивысшей степени, затем последовательно понижайте степень до свободного члена. Отсутствующую степень нужно обозначить нулём. Например, кубический многочлен без квадратичного члена всё равно требует четырёх значений, с нулём на втором месте. Пропуск этого нуля сдвигает последующие коэффициенты к неверным степеням и меняет делимый многочлен. Синтетическое деление напрямую связано с теоремой об остатке. При делении многочлена на x минус c остаток равен значению многочлена в точке c. Поэтому нулевой остаток означает, что c — корень, а x минус c — точный множитель. Метод полезен для проверки возможных рациональных корней, разложения выражений высоких степеней, упрощения рациональных функций и эффективного вычисления значений многочленов. Его часто изучают вместе с теоремой о множителе и делением многочленов в столбик. Калькулятор поддерживает положительные, отрицательные, нулевые и десятичные вещественные коэффициенты. Он ожидает приведённый линейный делитель, заданный числом c, а не полным выражением. Если делитель равен x плюс 2, перепишите его как x минус отрицательное 2 и введите отрицательное 2. Если старший коэффициент делителя не равен единице, сначала вынесите его за скобки или используйте деление в столбик. Результат представлен коэффициентами, а не оформленным символьным выражением: это устраняет неоднозначность имён переменных и упрощает перенос в другие расчёты.

Примеры синтетического деления

Коэффициенты и параметр делителяЧастное и остатокИнтерпретация
1, -6, 11, -6 при c, равном 1Частное 1, -5, 6; остаток 0Делитель является точным множителем.
2, 3, -5 при c, равном 2Частное 2, 7; остаток 9Значение многочлена в точке 2 также равно 9.
1, 0, -4 при c, равном 2Частное 1, 2; остаток 0Ноль сохраняет место отсутствующего линейного члена.
1, 5, 6 при c, равном отрицательному 2Частное 1, 3; остаток 0Ввод отрицательного 2 означает деление на x плюс 2.

Как пользоваться синтетическим делением

  1. Введите коэффициенты от наивысшей степени до свободного члена.
  2. Укажите нулевой коэффициент для каждой отсутствующей степени.
  3. Введите c из делителя x минус c.
  4. Нажмите «Разделить многочлен» и прочитайте коэффициенты частного и остаток.

Вопросы о синтетическом делении

Когда можно применять синтетическое деление?

Стандартный метод подходит для приведённого линейного делителя вида x минус c. Для более общих делителей нужен расширенный метод или деление в столбик.

Зачем вводить нулевые коэффициенты?

Каждая позиция соответствует определённой степени по убыванию. Ноль занимает место отсутствующей степени, чтобы следующие члены оставались правильно выровнены.

Что означает нулевой остаток?

Деление выполняется без остатка, а выбранный линейный делитель является множителем. Равносильно этому, c — корень исходного многочлена.

Как ввести делитель вида x плюс число?

Перепишите сложение как вычитание отрицательного числа. Для x плюс 2 введите отрицательное 2 в качестве c.

Как синтетическое деление связано со схемой Горнера?

Оба метода многократно умножают на одно значение и прибавляют следующий коэффициент. Схема Горнера вычисляет значение многочлена, а синтетическое деление сохраняет промежуточные значения как коэффициенты частного.