Калькулятор QR-разложения

QR-разложение представляет матрицу A в виде произведения Q на R. Столбцы Q ортонормированы: каждый имеет единичную длину, а разные столбцы перпендикулярны друг другу. R — верхняя треугольная матрица, поэтому все элементы ниже её главной диагонали равны нулю. Для квадратной матрицы полного ранга произведение показанных Q и R восстанавливает исходную матрицу с небольшими отличиями из-за округления десятичных чисел. Этот калькулятор выполняет такое разложение для вещественной матрицы 2 на 2. Вычисление использует классический процесс Грама — Шмидта для столбцов A. Сначала определяется евклидова длина первого столбца. Деление столбца на его длину даёт первый единичный вектор Q, а сама длина становится первым диагональным элементом R. Затем второй столбец проецируется на первый единичный вектор. После вычитания проекции остаётся перпендикулярный вектор, который нормируется и образует второй столбец Q. Коэффициент проекции и длина второго вектора дополняют верхнюю треугольную матрицу R. QR-разложение — один из основных инструментов численной линейной алгебры. Оно применяется в методе наименьших квадратов для переопределённых систем, где уравнений больше, чем неизвестных, и в алгоритмах поиска собственных значений. Ортогональные преобразования удобны для численных расчётов, поскольку сохраняют длины и обычно не усиливают ошибки округления так сильно, как прямые операции. Здесь рассматривается двумерный случай, чтобы каждый шаг было легко проверить, но тот же принцип ортогонализации столбцов применим к прямоугольным матрицам большего размера. Чтобы калькулятор получил два единичных вектора, входные столбцы должны быть линейно независимыми. Нулевой первый столбец нельзя нормировать, а если второй является кратным первого, после вычитания проекции не остаётся перпендикулярного направления. Такая матрица имеет неполный ранг и не допускает используемую здесь полную форму QR. QR-разложения также могут различаться знаками: одновременная смена знака столбца Q и соответствующей строки R не меняет их произведение. Калькулятор выбирает неотрицательные длины на диагонали R, обеспечивая устойчивое и предсказуемое соглашение для сравнения результатов.