Калькулятор полярного разложения

Полярное разложение представляет вещественную матрицу A в виде произведения QP. Для невырожденной квадратной матрицы Q ортогональна, а P симметрична и положительно определена. Ортогональная матрица сохраняет длины и углы, поэтому описывает поворот или отражение. Положительный множитель растягивает пространство вдоль взаимно перпендикулярных главных направлений, не добавляя вращения. Это матричный аналог записи ненулевого комплексного числа как произведения модуля и единичного направления. Калькулятор работает с невырожденными вещественными матрицами второго порядка. Сначала строится симметричная матрица Грама: транспонированная A умножается на A. Её положительный квадратный корень — это P. Для положительно определённой матрицы второго порядка корень можно найти непосредственно по следу и определителю, без итерационного приближения. Затем Q вычисляется как A, умноженная на обратную к P матрицу. Элементы на экране округляются до шести знаков после запятой, а внутренние вычисления сохраняют двойную точность JavaScript. Множители удовлетворяют тождествам, позволяющим проверить ответ. Произведение транспонированной Q на Q равно единичной матрице с учётом погрешности округления. Матрица P равна своей транспонированной и имеет положительные собственные значения. Наконец, произведение Q на P восстанавливает исходную A. Для единичной матрицы оба множителя единичные. Если матрица сочетает поворот на четверть оборота с разным масштабированием осей, Q выделяет поворот, а P содержит два коэффициента растяжения. Полярное разложение применяется в механике, графике, численном анализе, оптимизации и статистике. В механике сплошных сред оно разделяет деформацию на жёсткий поворот и чистое растяжение. В компьютерной графике помогает извлекать вращение из преобразований с масштабированием или сдвиговой деформацией. Ортогональная задача Прокруста использует полярный множитель для поиска ближайшей ортогональной матрицы, а численные алгоритмы применяют полярные итерации для сохранения геометрической структуры. Вырожденная матрица тоже может иметь полярное разложение, но ортогональный множитель не всегда единственен и требует дополнительных соглашений. Калькулятор принимает только невырожденные матрицы, чтобы P была обратима, а разложение однозначно. Сильно плохо обусловленные матрицы могут усиливать ошибки плавающей точки, поскольку растяжение по одному направлению близко к нулю. Используйте результат для обучения и вспомогательных вычислений, а ответственные расчёты проверяйте в ПО с произвольной точностью или поддержкой матриц большей размерности.