Калькулятор LU-разложения

LU-разложение представляет квадратную матрицу A как произведение L и U. Матрица L — нижняя треугольная: все элементы выше главной диагонали равны нулю. Матрица U — верхняя треугольная: все элементы ниже главной диагонали равны нулю. В используемой здесь схеме Дулиттла все диагональные элементы L равны единице. Умножение двух показанных множителей восстанавливает исходную матрицу с точностью до обычного округления чисел с плавающей точкой. Факторизация строится на исключении Гаусса. Каждый множитель, обычно используемый для обнуления элемента под ведущим, сохраняется в L. Формирующаяся ступенчатая матрица становится U. Такой подход сохраняет выполненную работу, а не отбрасывает её. Получив L и U, можно повторно использовать одну матрицу коэффициентов для решения систем с множеством разных правых частей гораздо эффективнее, чем каждый раз проводить исключение заново. Чтобы решить A × x = b, сначала решите L × y = b прямой подстановкой, затем U × x = y обратной подстановкой. Треугольные системы просты, поскольку каждое следующее уравнение вводит лишь одну новую неизвестную. LU-множители полезны и для определителей: при единичной диагонали L определитель равен произведению диагональных элементов U. Обращение матриц и численное моделирование также используют эту структуру как базовый элемент. Калькулятор принимает компактную запись матрицы. Разделяйте значения внутри строки запятыми или пробелами, а строки — точками с запятой. Число элементов каждой строки должно совпадать с числом строк, поскольку для этой формы LU-разложения требуется квадратная матрица. Поддерживаются отрицательные и дробные значения. Округление выполняется только при отображении, а само исключение использует арифметику двойной точности JavaScript. Реализация использует метод Дулиттла без выбора главного элемента, поэтому каждый ведущий элемент в процессе исключения должен быть ненулевым. Некоторые вполне обратимые матрицы начинаются с нулевого ведущего элемента и требуют перестановки строк до разложения. В полноценной численной библиотеке эта операция описывается матрицей перестановки P в соотношении P × A = L × U. При ошибке ведущего элемента переставьте подходящие строки перед вводом или используйте решатель с выбором главного элемента. Для хорошо обусловленных учебных примеров и матриц с пригодными диагональными ведущими элементами результат разложения нагляден и легко проверяется.