Калькулятор линейной комбинации

Умножьте два вектора на скаляры и сложите соответствующие компоненты.

Рассчитать линейную комбинацию
Введите векторы одинаковой размерности, разделяя значения запятыми.

О линейных комбинациях

Линейная комбинация получается умножением векторов на скалярные числа и сложением полученных векторов. Для двух векторов v1 и v2 со скалярами a и b выражение имеет вид av1 + bv2. Калькулятор выполняет эту операцию покомпонентно. Если v1 равен (x1, y1, z1), а v2 равен (x2, y2, z2), результатом будет (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2). Правило работает для любой конечной размерности, если у обоих векторов одинаковое число компонентов. Скаляры задают величину и направление каждого вклада. Скаляр больше единицы растягивает вектор, значение между нулём и единицей укорачивает его, а отрицательный скаляр меняет направление на противоположное. Нулевой скаляр полностью исключает вклад вектора из комбинации. Поскольку складываются компоненты на одинаковых позициях, двумерный вектор нельзя напрямую комбинировать с трёхмерным. Калькулятор обнаруживает несовпадение размерностей и просит совместимые данные, а не отбрасывает компонент. Линейные комбинации — основа линейной алгебры. Линейная оболочка набора векторов представляет собой множество всех возможных линейных комбинаций этих векторов. Вектор принадлежит оболочке, если некоторый выбор скалярных коэффициентов позволяет его получить. Базисные векторы особенно полезны: каждый вектор их пространства единственным образом выражается через линейную комбинацию, когда базис линейно независим. Эта идея используется в системах координат, умножении матриц, системах уравнений, смешивании сигналов, компьютерной графике и моделях данных. Чтобы проверить результат, умножьте каждый компонент первого вектора на первый скаляр, повторите это для второго вектора и сложите соответствующие произведения. Соблюдайте порядок компонентов на протяжении всего расчёта. Допускаются дробные и отрицательные значения, а отображаемый результат округляется только для удобства чтения. Для комбинации более двух векторов сначала вычислите первые два, затем используйте результат как один из входных векторов в следующем расчёте с очередным вектором. Повторение этого процесса следует сочетательному свойству сложения векторов и даёт тот же итоговый вектор.

Примеры

В каждой строке сначала выполняется умножение на скаляр, затем сложение векторов.

ВыражениеРезультатТолкование
2(1, 2, 3) - (4, 5, 6)(-2, -1, 0)Вычтите второй вектор из удвоенного первого.
3(2, -1) + 0.5(4, 6)(8, 0)Обе суммы компонентов вычисляются отдельно.
-2(1, 0) + 4(0, 1)(-2, 4)Векторы стандартного базиса задают каждую координату.

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите множитель для первого вектора.
  2. Введите первый вектор, разделяя компоненты запятыми.
  3. Введите второй скаляр и второй вектор той же размерности.
  4. Нажмите «Рассчитать комбинацию», чтобы сложить масштабированные компоненты.

Частые вопросы

Что такое скаляр?

Скаляр — это обычное число, на которое умножают каждый компонент вектора. Оно меняет длину вектора и может обратить его направление.

Должна ли размерность векторов совпадать?

Да, при сложении векторов попарно складываются соответствующие компоненты. Для векторов с разным числом компонентов стандартная покомпонентная сумма не определена.

Могут ли коэффициенты быть отрицательными или дробными?

Да, скаляром может быть любое конечное действительное число. Отрицательные значения меняют направление, а дробные пропорционально масштабируют вектор.

Что делает нулевой коэффициент?

При умножении вектора на ноль получается нулевой вектор. Поэтому такой вектор ничего не добавляет к итоговой комбинации.

Как это связано с линейной оболочкой?

Линейная оболочка — множество всех векторов, получаемых при всевозможных коэффициентах. Каждый результат калькулятора принадлежит линейной оболочке двух входных векторов.