Калькулятор метода подстановки

Решите линейную систему с двумя переменными и определите единственное решение, несовместность или зависимость уравнений.

Решение двух линейных уравнений
Введите коэффициенты для a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2.

О решении систем методом подстановки

Метод подстановки решает систему уравнений, выражая одну переменную через другую и подставляя полученное выражение во второе уравнение. Для линейной системы с двумя переменными оба уравнения должны выполняться в одной точке. Единственное решение — упорядоченная пара, значения x и y которой удовлетворяют каждому уравнению. На графике это точка пересечения двух прямых. Запишите уравнения как a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Для ручной подстановки выберите переменную с удобным ненулевым коэффициентом. Например, выразите x из первого уравнения: x = (c1 - b1y) / a1. Замените x во втором уравнении этим выражением, решите полученное уравнение с одной переменной относительно y, затем подставьте y в любое исходное уравнение и найдите x. В конце проверьте оба значения в обоих уравнениях. Калькулятор использует математически эквивалентные формулы с определителями, поэтому расчёт не зависит от того, какой коэффициент удобнее для выражения переменной. Определитель равен a1b2 - a2b1. Если он ненулевой, прямые имеют разные направления и ровно одно решение. Координаты: x = (c1b2 - c2b1), делённое на определитель, и y = (a1c2 - a2c1), делённое на определитель. Правильно выполненная подстановка даёт те же значения. Нулевой определитель требует отдельной интерпретации. Если одно уравнение целиком кратно другому, они описывают одну прямую и каждая её точка является решением. Система зависима и имеет бесконечно много решений. Если коэффициенты при переменных пропорциональны, а константы — нет, прямые параллельны и не пересекаются. Такая несовместная система не имеет решений. Панель результатов различает эти случаи, не пытаясь делить на ноль. Линейные системы описывают цены и количества, смеси, расстояния и скорости, бюджеты, координатную геометрию и многие другие зависимости. Сохраняйте знаки минус у коэффициентов и вводите ноль, если переменная отсутствует. Допускаются десятичные коэффициенты, хотя точные дроби могут давать периодические десятичные результаты. Округление применяется только при отображении; расчёт использует полную числовую точность JavaScript. Важный результат всегда проверяйте подстановкой x и y в исходные уравнения.

Примеры метода подстановки

Каждая система показывает связь между уравнениями и точкой их пересечения.

СистемаРешениеПроверка
x + y = 5; 2x - y = 1(2, 3)Оба уравнения выполняются
2x + 3y = 7; x - y = 1(2, 1)Подставьте x = y + 1
x + y = 4; x - y = 0(2, 2)Прямые пересекаются в одной точке

Как пользоваться решателем методом подстановки

  1. Приведите оба уравнения к виду ax + by = c.
  2. Введите коэффициенты при x и y и константу первого уравнения.
  3. Введите соответствующие три значения второго уравнения.
  4. Нажмите «Решить подстановкой» и посмотрите тип решения и координаты.
  5. Проверьте координаты, подставив их в оба исходных уравнения.

Вопросы о методе подстановки

Когда подстановка наиболее удобна?

Особенно удобно, когда коэффициент при одной переменной равен 1 или -1. Метод также полезен, если в одном уравнении переменная уже выражена через другую.

Что означает отсутствие решения?

Уравнения задают разные параллельные прямые. Коэффициенты при переменных пропорциональны, но константы несовместимы.

Что означает бесконечно много решений?

Оба уравнения описывают одну прямую, даже если одно выглядит как кратное другому. Каждая точка этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям.

Может ли коэффициент быть нулём?

Да, ноль означает отсутствие переменной в уравнении. Система всё ещё может иметь единственное решение, если два уравнения вместе определяют обе переменные.

Как проверить ответ?

Замените x и y в каждом исходном уравнении показанными значениями. Левая часть каждого уравнения должна равняться указанной константе.