Калькулятор степени матрицы

Степень матрицы означает повторное умножение матриц, подобно тому как обычная степень означает повторное умножение скаляров. Если A — квадратная матрица, то A в квадрате — это A, умноженная на A, а A в кубе — A, умноженная на A и ещё раз на A. Умножение матриц не является поэлементным: каждый элемент результата равен скалярному произведению строки на столбец. Благодаря этому степени матриц удобно использовать для описания повторных линейных преобразований. В обычную целую степень можно возводить только квадратные матрицы, поскольку при каждом умножении на ту же матрицу размерности должны оставаться совместимыми. Положительный показатель n означает повторение преобразования n раз. Это применяется в дискретных динамических системах, цепях Маркова, маршрутах в графах, рекуррентных соотношениях, моделях популяций и компьютерной графике. Например, элемент матрицы смежности в степени n может показывать число маршрутов длины n между двумя вершинами. Нулевая степень любой квадратной матрицы определяется как единичная матрица того же размера. На главной диагонали единичной матрицы стоят единицы, а в остальных позициях — нули; умножение на неё не меняет матрицу. Такое соглашение сохраняет правила степеней: например, A в степени m, умноженная на A в нулевой степени, равна A в степени m. Для отрицательной степени используется обратная матрица. A в степени минус один — это матрица, обратная к A, а A в степени минус n — обратная матрица в положительной степени n. Это возможно только для невырожденной A. Если в ходе исключения не удаётся найти ненулевой ведущий элемент, обратной матрицы не существует и калькулятор сообщает, что запрошенная отрицательная степень не определена. Калькулятор использует возведение в степень через последовательное возведение в квадрат, а не выполняет все умножения по одному. Текущее основание возводится в квадрат и включается в произведение только тогда, когда соответствующий двоичный разряд показателя равен единице. Число умножений матриц сокращается примерно с n до логарифма n, что делает большие показатели практически удобными. Для отрицательных показателей сначала вычисляется обратная матрица методом Гаусса — Жордана с частичным выбором ведущего элемента. Результаты округляются только при отображении, чтобы уменьшить заметные погрешности вычислений с плавающей точкой и сохранить полезную точность. Вводите целые или десятичные числа, разделяя столбцы запятыми, а строки — точками с запятой.