Калькулятор норм матрицы

Норма матрицы сводит всю матрицу к одному неотрицательному числу, описывающему её величину. Разные нормы подчёркивают разные свойства, поэтому выбор зависит от изучаемой задачи. Нормы играют основополагающую роль в линейной алгебре, численном анализе, оптимизации, науке о данных и инженерии: они позволяют сравнивать матрицы, измерять ошибки и обсуждать сходимость итерационных вычислений. Норма Фробениуса — это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов. Она рассматривает матрицу как один длинный вектор, что делает её понятной и простой в вычислении. Её часто используют для ошибок аппроксимации, обработки изображений и целевых функций машинного обучения. Если элементы матрицы равны 3 и 4, а остальные нулевые, норма Фробениуса равна 5 по известному соотношению Пифагора. Матричная 1-норма — наибольшая сумма модулей элементов по столбцу. Сложите модули в каждом столбце и выберите максимальную сумму. Бесконечная норма — её аналог для строк: сложите модули элементов каждой строки и возьмите максимум. Эти индуцированные нормы особенно полезны для оценки того, насколько матрица может усилить векторные ошибки, измеренные соответствующими векторными нормами. Спектральная 2-норма измеряет максимальное растяжение, создаваемое линейным преобразованием. Она равна наибольшему сингулярному числу или, что то же самое, квадратному корню из наибольшего собственного значения произведения транспонированной и исходной матриц. Калькулятор оценивает это собственное значение устойчивым степенным методом. Метод точен для обычных вещественных матриц и возвращает ноль для нулевой матрицы. Все четыре нормы равны нулю только для нулевой матрицы, не меняются при смене знака всех элементов и удовлетворяют неравенству треугольника. Обычно они дают разные числа, но связаны оценками, зависящими от размерности. Используйте норму Фробениуса для общей величины, 1-норму для влияния столбцов, бесконечную норму для влияния строк, а 2-норму для геометрического растяжения. Допускаются положительные, отрицательные, целые и десятичные значения, а также прямоугольные матрицы.