Калькулятор ранга матрицы

Ранг матрицы — это число содержащихся в ней линейно независимых строк или столбцов. Хотя строчный и столбцовый ранги определяются с разных направлений, фундаментальная теорема линейной алгебры доказывает, что они всегда равны. Таким образом, ранг одним числом описывает объём независимой информации в матрице. Матрица имеет полный ранг, если он равен меньшему из числа строк и числа столбцов. Квадратная матрица полного ранга обратима, имеет ненулевой определитель и переводит различные входные векторы в различные выходные. Матрица неполного ранга содержит избыточность: хотя бы одну строку или столбец можно получить как линейную комбинацию других. Например, если каждая строка кратна первой, ранг равен единице, кроме случая, когда все элементы нулевые. Калькулятор определяет ранг методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. В каждом столбце он ищет надёжный ненулевой ведущий элемент, переставляет соответствующую строку на нужную позицию, нормирует её и обнуляет этот столбец в остальных строках. Каждый найденный ведущий элемент увеличивает ранг на единицу. Столбцы без подходящего элемента пропускаются, поскольку не добавляют независимого направления. Небольшой числовой допуск не позволяет ошибкам округления с плавающей точкой превращать теоретические нули в ложные ведущие элементы. Ранг напрямую связан с системами линейных уравнений. Для матрицы коэффициентов он равен числу независимых ограничений. Сравнение её ранга с рангом расширенной матрицы позволяет выяснить, нет ли у системы решений, единственно ли решение или решений бесконечно много. Теорема о ранге и дефекте также утверждает, что число столбцов равно сумме ранга и размерности ядра, связывая образ преобразования с его ядром. В анализе данных ранг выявляет избыточные признаки и лежит в основе снижения размерности. В теории управления он используется при проверке управляемости и наблюдаемости. В геометрии он задаёт размерность пространства, натянутого на набор векторов. Вводите прямоугольные или квадратные матрицы с целыми или дробными значениями. Полученное целое число находится между нулём и меньшей размерностью матрицы, поэтому результат легко понять и проверить.