Калькулятор матрицы алгебраических дополнений

Найдите девять миноров со знаками и определитель матрицы 3×3 для расчёта присоединённой и обратной матриц.

Расчёт матрицы алгебраических дополнений 3×3

Введите все элементы, чтобы вычислить полную матрицу миноров со знаками.

Элементы матрицы

О матрице алгебраических дополнений

Матрица алгебраических дополнений заменяет каждый элемент квадратной матрицы его минором с учётом знака. Для элемента в строке i и столбце j удалите эту строку и столбец, вычислите определитель оставшейся матрицы и примените плюс или минус по шахматному правилу. Для матрицы 3×3 выполняются девять вычислений определителей 2×2, результаты которых образуют новую матрицу 3×3. Знаки начинаются с плюса в левом верхнем углу и чередуются по строкам и столбцам. Первая строка: плюс, минус, плюс; вторая: минус, плюс, минус; третья: плюс, минус, плюс. Знак обязательно применяется после вычисления минора. Частая ошибка при ручном расчёте — записать матрицу миноров, забыв четыре отрицательные позиции. Алгебраические дополнения связывают важные операции линейной алгебры. Транспонирование их матрицы даёт присоединённую матрицу. Если исходный определитель ненулевой, деление присоединённой матрицы на него даёт обратную. Скалярное произведение любой исходной строки на соответствующую строку дополнений равно определителю, а на другую строку дополнений — нулю. Эти тождества помогают проверить результат. Определитель под матрицей вычисляется по тем же дополнениям. Если он нулевой, обратной матрицы нет, но матрица дополнений остаётся корректно определённой. Некоторые вырожденные матрицы имеют ненулевые дополнения, а при достаточно низком ранге все дополнения могут быть нулевыми. Поддерживаются десятичные значения; все вычисления выполняются до округления при выводе. Дополнения используются в правиле Крамера, выводе формул обратной матрицы, поиске нормалей к плоскостям, изучении характеристических многочленов и доказательстве свойств определителей. Для больших численных систем преобразования строк и матричные разложения обычно эффективнее и устойчивее. Но в задаче 3×3 полная матрица дополнений наглядно раскрывает структуру. Калькулятор помещает каждый результат со знаком на соответствующее место, позволяя сразу транспонировать матрицу для получения присоединённой и сравнивать элементы с ручным решением.

Примеры алгебраических дополнений

Примеры показывают, как структура матрицы влияет на миноры со знаками.

Строки матрицы	Строки дополнений	Наблюдение
[1 2 3], [0 1 4], [5 6 0]	[-24 20 -5], [18 -15 4], [5 -4 1]	Исходный определитель равен 1.
[2 0 0], [0 3 0], [0 0 4]	[12 0 0], [0 8 0], [0 0 6]	Диагональная матрица даёт диагональную матрицу дополнений.
[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	Матрица дополнений единичной матрицы совпадает с ней самой.

Как вычислить матрицу алгебраических дополнений

Введите девять элементов матрицы по строкам.
Нажмите «Вычислить алгебраические дополнения».
Прочитайте каждый минор со знаком на месте исходного элемента.
Транспонируйте результат, если нужна присоединённая матрица.

Вопросы об алгебраических дополнениях

Матрица дополнений совпадает с присоединённой?

Нет, присоединённая матрица — это транспонированная матрица дополнений. Перед использованием в формуле обратной матрицы нужно поменять строки и столбцы местами.

Как вычисляется каждое дополнение?

Удалите строку и столбец элемента, вычислите оставшийся определитель 2×2 и примените чередующийся знак. Результат занимает место исходного элемента.

Есть ли дополнения у вырожденной матрицы?

Да, дополнения определены независимо от того, равен ли исходный определитель нулю. Нулевой определитель мешает обращению, но не вычислению миноров со знаками.

Как чередуются знаки в матрице дополнений 3×3?

Знаки идут в шахматном порядке от плюса слева вверху. Строки: плюс-минус-плюс, минус-плюс-минус и плюс-минус-плюс.

Как получить обратную матрицу через дополнения?

Транспонируйте матрицу дополнений, получив присоединённую, и разделите каждый элемент на исходный определитель. Метод работает только при ненулевом определителе.