Калькулятор следа матрицы

Вычислите след квадратной матрицы, сложив элементы её главной диагонали.

Вычисление следа матрицы
Введите квадратную матрицу, чтобы сразу получить сумму её диагональных элементов.

Разделяйте столбцы запятыми, а строки — точками с запятой.

О следе матрицы

След квадратной матрицы — это сумма элементов её главной диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. Для матрицы 2 на 2 с диагональными элементами a и d след равен a плюс d. Внедиагональные элементы непосредственно в сумму не входят. Поэтому след — одна из наиболее быстро вычисляемых важных характеристик матрицы. След определён только для квадратных матриц: лишь у них главная диагональ сопоставляет каждой строке соответствующий столбец. Результат — скаляр, который может быть положительным, отрицательным или нулевым. Нулевой след не означает, что матрица нулевая или вырожденная: положительные и отрицательные диагональные элементы могут просто взаимно компенсироваться. У следа есть несколько полезных алгебраических свойств. Он линеен: след суммы A и B равен сумме их следов, а умножение матрицы на число умножает её след на то же число. След также инвариантен относительно преобразований подобия. Подобные матрицы представляют одно линейное преобразование в разных базисах, но их следы совпадают. Поэтому след служит удобной характеристикой, не зависящей от выбора координат. Ещё одно важное тождество: след произведения A на B равен следу произведения B на A, если оба произведения определены и квадратны. Само умножение матриц некоммутативно, но след допускает такую циклическую перестановку. В более длинных произведениях множители можно циклически сдвигать, не меняя след. Это свойство часто используется в статистике, оптимизации и квантовой механике. След также равен сумме собственных значений матрицы с учётом их алгебраической кратности, даже если они комплексные. Он встречается в характеристических многочленах, вычислениях дивергенции, анализе ковариации, математических ожиданиях квадратичных форм и описании квантовых состояний. В дифференциальных уравнениях след помогает характеризовать локальное расширение или сжатие динамической системы. Калькулятор проверяет одинаковую длину всех строк и квадратность матрицы, затем напрямую складывает диагональные элементы. Допускаются целые, отрицательные и десятичные числа. На каждый диагональный элемент требуется всего одно сложение, поэтому расчёт остаётся быстрым и при увеличении размера матрицы. Отображаемое значение округляется только для устранения незначительных погрешностей вычислений с плавающей точкой.

Примеры вычисления следа матрицы

В каждом случае в результат входит только главная диагональ.

МатрицаСледПояснение
[[1,2],[3,4]]5Сложите диагональные элементы 1 и 4.
[[2,1,0],[4,-3,8],[7,5,6]]5Сумма диагонали равна 2 минус 3 плюс 6.
[[-2,0],[0,2]]0Противоположные диагональные значения взаимно сокращаются.

Как вычислить след матрицы

  1. Введите квадратную матрицу, разделяя элементы запятыми.
  2. Разделяйте строки точками с запятой.
  3. Нажмите «Вычислить след», чтобы сложить главную диагональ.
  4. Посмотрите полученную сумму диагональных элементов.

Частые вопросы

Что такое след матрицы?

След — сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы. Результат представляет собой одно скалярное значение.

Есть ли след у прямоугольной неквадратной матрицы?

Стандартный след определён только для квадратных матриц. Это обеспечивает одинаковую размерность пространств, представляемых строками и столбцами.

Означает ли нулевой след, что матрица вырождена?

Нет, след и обратимость характеризуют разные свойства. Обратимая матрица может иметь нулевой след.

Как след связан с собственными значениями?

След равен сумме всех собственных значений с учётом их алгебраической кратности. Это верно и при наличии комплексных собственных значений.

Влияют ли внедиагональные элементы на след?

Они не входят непосредственно в сумму диагонали. Однако они могут влиять на другие свойства матрицы, например собственные векторы и определитель.