Калькулятор квадратных уравнений

Решите любое квадратное уравнение по трём коэффициентам.

Решить ax² + bx + c = 0

Введите коэффициенты a, b и c, чтобы вычислить дискриминант и корни.

Коэффициент a

Коэффициент b

Свободный член c

О формуле корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет стандартный вид: a, умноженное на x в квадрате, плюс bx плюс c равно нулю, где a, b и c — числа, а a не равно нулю. Формула корней находит все значения x, при которых уравнение верно. Согласно ей, x равен минус b плюс или минус квадратный корень из b в квадрате минус четырёхкратное произведение a и c, и всё это делится на удвоенное a. Калькулятор подставляет введённые коэффициенты в формулу и показывает дискриминант и полученные корни. Выражение b в квадрате минус 4ac называется дискриминантом. По его знаку можно определить вид решений ещё до полного вычисления формулы. Положительный дискриминант даёт два различных действительных корня. Нулевой даёт один двойной действительный корень, поскольку ветви с плюсом и минусом совпадают. Отрицательный даёт два комплексно-сопряжённых корня с одинаковыми действительными и противоположными мнимыми частями. Дискриминант рядом с ответами помогает понять, почему получился именно такой вид решения. Квадратные уравнения возникают, когда переменная возводится в квадрат, но более высоких степеней нет. Они описывают движение брошенного тела, площади прямоугольников, кривые выручки, параболические отражатели и многие задачи оптимизации. Если действительные корни существуют, они являются x-координатами пересечений графика с осью x. Коэффициент a определяет направление ветвей параболы, а b и c влияют на её горизонтальное положение и пересечение с вертикальной осью. Даже если уравнение легко разложить на множители, формула даёт систематический способ без их подбора. Сначала приведите уравнение к стандартному виду, затем введите коэффициенты, сохранив их знаки. Например, для x в квадрате минус 5x плюс 6 равно нулю: a равно 1, b равно -5, c равно 6. У отсутствующих членов коэффициент равен нулю. Если a равно нулю, уравнение становится линейным, а формула требует деления на ноль, поэтому калькулятор отклоняет такой ввод. Десятичные коэффициенты поддерживаются. Отображаемые корни округляются, а внутренние вычисления сохраняют обычную точность чисел с плавающей точкой JavaScript.

Примеры применения формулы корней

Уравнение	Корни	Дискриминант
x² - 5x + 6 = 0	x = 3 и x = 2	D = 1, поэтому есть два действительных корня
x² + 2x + 1 = 0	x = -1	D = 0, поэтому корень двойной
x² + 1 = 0	x = i и x = -i	D = -4, поэтому корни комплексные

Как использовать формулу корней

Приведите уравнение к виду: a, умноженное на x в квадрате, плюс bx плюс c равно нулю.
Введите коэффициент a со знаком и убедитесь, что он не равен нулю.
Введите коэффициент b и свободный член c, указав ноль для отсутствующих членов.
Нажмите «Решить квадратное уравнение» и просмотрите дискриминант и корни.

Частые вопросы

Какова формула корней квадратного уравнения?

x равен минус b плюс или минус квадратный корень из b в квадрате минус 4ac, всё делится на 2a. Формула решает любое квадратное уравнение в стандартном виде.

Что показывает дискриминант?

Его знак определяет, будут ли два действительных корня, один двойной действительный корень или два комплексных. Точное значение также определяет расстояние между корнями.

Почему коэффициент a не может быть нулём?

При нулевом a квадратный член исчезает и уравнение становится линейным. Кроме того, формула требует деления на 2a, то есть в этом случае на ноль.

Как ввести отсутствующий член?

Укажите ноль в качестве его коэффициента. Для x в квадрате плюс 9 равно нулю введите a как 1, b как 0 и c как 9.

Показывает ли калькулятор комплексные корни?

Да. При отрицательном дискриминанте он показывает сопряжённую пару с i. Действительные части совпадают, а мнимые имеют противоположные знаки.