Калькулятор объёма параллелепипеда

Параллелепипед — это тело с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом. Его можно представить как растянутую или скошенную коробку, рёбра которой не обязательно пересекаются под прямыми углами. Три вектора с общим началом описывают направления и длины трёх смежных рёбер. Этих данных достаточно для вычисления объёма даже при наклонном положении тела в трёхмерном пространстве. Используется смешанное произведение векторов. Сначала находят векторное произведение b и c. Полученный вектор перпендикулярен плоскости этих двух рёбер, а его модуль равен площади образованного ими параллелограмма. Затем вычисляют скалярное произведение a с этим перпендикулярным вектором. Это проецирует оставшееся ребро на перпендикулярное направление и фактически умножает площадь основания на высоту. Берётся модуль, поскольку смена ориентации может сделать определитель отрицательным, но физический объём отрицательным быть не может. В координатной форме три вектора помещают в матрицу из трёх строк и трёх столбцов и вычисляют её определитель. Калькулятор выполняет это разложение напрямую. Если a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz) и c = (cx, cy, cz), смешанное произведение со знаком объединяет диагональные произведения с противоположными по знаку членами. Его модуль даёт объём в кубических единицах. Ортогональные векторы вдоль осей дают привычное произведение длины, ширины и высоты. Нулевой результат имеет важный геометрический смысл. Он означает, что векторы компланарны или хотя бы один зависит от остальных. Они не могут ограничить действительно трёхмерную область, и параллелепипед вырождается в плоскость, прямую или точку. Очень маленький ненулевой определитель может указывать на почти компланарные векторы, что важно в численном анализе и геометрии. Этот расчёт встречается в векторном анализе, аналитической геометрии, физике, кристаллографии и компьютерной графике. Инженеры используют определители для преобразования объёмов между системами координат, а физики — смешанные произведения в расчётах моментов сил и ориентации. Если векторы задают реальные длины, вводите компоненты в согласованных единицах. При измерении всех компонент в метрах ответ получается в кубических метрах. Отрицательные компоненты допустимы, поскольку описывают направление; недопустимы лишь пропущенные или нечисловые значения. Показанный результат точен для целочисленных входных данных в обычных пределах арифметики с плавающей точкой и округляется при десятичных расчётах. Для векторов, полученных из измерений, сохраняйте достаточную исходную точность. Калькулятор находит только геометрический объём; площадь поверхности, углы между рёбрами и массу нужно рассчитывать отдельно.