Калькулятор Арктана — обратная касательная функция
Вычислите обратный касательный (arctan) любого вещественного числа и мгновенно получите угол в градусах или радианах.
Введите любое вещественное число, выберите градусы или радианы и вычислите угол, касательная которого равна этому значению.
Калькулятор Арктана — обратная касательная функция
Вычислите обратный касательный (arctan) любого вещественного числа и мгновенно получите угол в градусах или радианах.
Область определения: все вещественные числа (от -∞ до ∞)
О калькуляторе арктана
Функция арктангенса, обозначаемая как arctan(x) или tan⁻¹(x), является обратной касательной функцией. Для любого вещественного числа x arctan(x) возвращает угол θ, касательная которого равна x. В отличие от арксина и арккосина, арктангенс определяется для всех вещественных чисел — ограничений по области области не существует — потому что касательная функция принимает все вещественные значения, так как x варьируется от -90° до 90° .
Выход arctan находится в открытом интервале (-90°, 90°) для градусов или (-π/2, π/2) для радиан. Обратите внимание, что эти конечные точки исключаются: arctan никогда не равен ровно ±90°, потому что касательная функция приближается к бесконечности по мере приближения угла к этим пределам, то есть ни один конечный x не даёт результата 90° .
Как x → ∞, arctan(x) → 90°, а x → -∞, arctan(x) → -90°. Арктан — самая часто используемая из обратных тригонометрических функций, встречающаяся в огромном спектре применений. В геометрии, если знать длины противоположных и соседних сторон прямоугольного треугольника, угол является арктаном (противоположный/соседний). Например, наклон 1 (подъём равен бегу) соответствует углу arctan(1) = 45° .
Наклон 2 даёт arctan(2) ≈ 63.43°. В компьютерной графике и разработке игр arctan используется для определения угла 2D-вектора по его компонентам x и y. Функция atan2(y, x) (доступна практически во всех языках программирования) расширяет arctan для обработки всех четырёх квадрантов, проверяя знаки обоих компонентов, возвращая значения в полном диапазоне (-180°, 180°) .
В теории обработки сигналов и управления арктан встречается в фазовых расчётах: фаза комплексного числа a bi равна arctan(b/a). В навигации курс между двумя географическими координатами вычисляется с помощью арктана различий в долготе и широте. В физике угол маятника или преломленного луча включает арктан в его точной форме .
Ключевые значения: arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45°, arctan(-1) = -45°, arctan(√3) = 60°, arctan(1/√3) = 30°. Они возникают из стандартных треугольников и заслуживают запоминания. Функция нечётна — arctan(-x) = -arctan(x) — поэтому отрицательные значения являются просто отрицательными значениями соответствующих положительных углов .
Связь между арктаном и π известна в математике. Формула Лейбница для π гласит: π/4 = 1 - 1/3 1/5 - 1/7 ... = arctan(1). Более эффективные формулы, такие как формула Мачина π/4 = 4·arctan(1/5) - arctan(1/239), исторически использовались для ручного вычисления многих цифр π.
Примеры Arctan
Классические входные значения, охватывающие ключевые точки на кривой арктангенса.
| Вход | arctan(x) | Объяснение |
|---|---|---|
| arctan(0) | 0° = 0 рад | Касательная 0° равна 0, значит arctan(0) = 0. Начало арктановой кривой. |
| Arctan(1) | 45° ≈ 0.7854 рад | Касательная 45° равна 1. Наклон 1 (равный подъём и проход) соответствует углу 45°. |
| arctan(1.7321) | 60° ≈ 1.0472 рад | arctan(√3) = 60°. Возникает из треугольника 30-60-90, где касательная 60° равна √3 ≈ 1.7321. |
| Arctan(-1) | -45° ≈ -0.7854 рад | Отрицательный вход даёт отрицательный угол. arctan(-1) = -45°, иллюстрируя симметрию нечётной функции. |
Как пользоваться калькулятором арктана
- Введите любое вещественное число в поле входного значения (x). В отличие от arcsin и arccos, arctan принимает все вещественные числа без ограничений по области.
- Выберите Output Unit: нажмите Degrees, чтобы получить результат в градусах, или Radian для результата в радианах.
- Нажмите «Вычислить arctan», чтобы вычислить обратный тангенс. Результат находится в диапазоне (-90°, 90°) для градусов.
- Панель результатов показывает arctan(x) = результат, вместе с исходной формулой для справки.
- Нажмите «Сброс», чтобы очистить ввод и вычислить новое значение.
Часто задаваемые вопросы о калькуляторе arctan
Какова область определения arctan?
Область определения arctan — все действительные числа (-∞, ∞). Поскольку функция тангенса принимает любое действительное значение, когда аргумент варьируется в пределах (-90°, 90°), ограничений на вход нет. Вы можете вычислить arctan очень больших чисел (arctan(1000) ≈ 89.943°) или очень отрицательных чисел (arctan(-1000) ≈ -89.943°).
Почему arctan никогда не достигает ±90°?
Функция тангенса стремится к ±∞, когда угол приближается к ±90°. Работая в обратном направлении, чтобы получить arctan(x) = 90°, вам понадобится x = tan(90°) = ∞. Поскольку бесконечность не является конечным действительным числом, arctan никогда не достигает точно ±90°. Она асимптотически приближается к этим пределам по мере увеличения величины x.
В чем разница между arctan и atan2?
arctan(y/x) возвращает только углы в диапазоне (-90°, 90°) и не может различать противоположные квадранты — векторы (1,1) и (-1,-1) оба дают отношение 1. Функция atan2(y, x) принимает y и x отдельно и возвращает углы во всем диапазоне (-180°, 180°], правильно размещая результат в нужном квадранте. Используйте atan2 для углов векторов в программировании.
Как используется arctan для определения угла наклона линии?
Наклон m линии равен rise/run = tan(θ), поэтому угол наклона θ = arctan(m). Для линии с наклоном 0.5 угол равен arctan(0.5) ≈ 26.57°. Вертикальная линия имеет неопределенный наклон (бесконечный тангенс) и наклон 90°, к которому arctan приближается, но никогда не достигает для конечного ввода.
Является ли arctan нечетной или четной функцией?
Arctan — нечетная функция: arctan(-x) = -arctan(x). Это отражает тот факт, что функция тангенса также нечетная: tan(-θ) = -tan(θ). Практически это означает, что если вы знаете, что arctan(2) ≈ 63.43°, вы сразу же знаете, что arctan(-2) ≈ -63.43° без дополнительного вычисления.
Какова производная arctan?
Производная arctan(x) по x равна 1/(1 + x²). Эта относительно простая производная делает arctan полезной в интегральном исчислении: интеграл от 1/(1 + x²) dx равен arctan(x) + C. Этот интеграл часто встречается в задачах с рациональными функциями и при выводе ряда для π.