중심극한정리 계산기

중심극한정리는 통계적 추론 전반에 정규분포가 나타나는 이유를 설명합니다. 평균과 분산이 유한한 모집단에서 독립적인 관측값을 추출하면 표본 크기가 커질수록 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워집니다. 원래 모집단이 비대칭이거나 정규분포가 아니어도 가능합니다. 표집분포의 중심은 모평균이며, 그 표준편차를 표준오차라고 합니다. 모평균μ, 모표준편차σ, 표본 크기n일 때 평균의 표준오차는σ/√n입니다. 따라서 표본 크기를 늘리면 표본평균이μ 주변에 더 밀집합니다. 표본평균이 하한과 상한 사이에 있을 확률을 구하려면 z = (x̄ - μ)/(σ/√n)으로 각 경계를 z점수로 변환합니다. 원하는 확률은 두 z점수 사이의 표준정규곡선 아래 면적입니다. 모집단의 평균이100, 표준편차가15라고 가정합니다.36개 관측값으로 이루어진 표본의 표준오차는15/6 = 2.5입니다. 경계95와105는 각각 z점수-2와2에 해당합니다. 표준정규분포는 이 두 지점 사이에 전체 면적의 약95.45퍼센트를 가지므로, 이 모델에서 반복 추출한 표본평균의 약95.45퍼센트가 해당 구간에 들어갑니다. 이 정리는 점근적 결과이지 크기가30인 모든 표본이 자동으로 정규성을 갖는다는 보편 규칙이 아닙니다. 근사가 개선되는 속도는 모집단의 모양에 달려 있습니다. 정규분포에 가까운 모집단은 작은 표본으로 충분할 수 있지만, 심하게 비대칭이거나 꼬리가 두꺼운 모집단은 훨씬 많은 자료가 필요할 수 있습니다. 관측값 간 의존성, 무한한 분산, 강한 선택 편향, 대표성 없는 추출 과정은 단순 계산을 무효화할 수 있습니다. 다만 원래 모집단 자체가 정규분포라면 모든 양의 표본 크기에서 표본평균이 정확히 정규분포를 따릅니다. 이 계산기는 모표준편차가 알려져 있다고 가정합니다. 실제 추론에서는 표본 자료로 추정하는 경우가 많으며, 특히 작은 표본의 신뢰구간과 검정에서는 t분포를 사용할 수 있습니다. 표시 확률은 입력한 모집단 모델에서 반복적으로 무작위 표본을 뽑았을 때를 설명하며, 고정되어 있지만 알려지지 않은 모수가 입력 구간에 있을 확률을 뜻하지 않습니다. 표집분포 연습, 품질관리 계획, 조사 추정, 확률 확인에 사용하되 관측값을 얻은 설계가 가정에 맞는지 확인하세요.