특성다항식 계산기

특성다항식은 정방행렬의 핵심 정보를 하나의 다항식으로 표현합니다. 그 근은 행렬의 고유값으로, 해당 선형변환에서 같은 직선 방향을 유지한 채 크기가 변하는 방향이나 상태를 설명합니다. 이 계산기는 실수 2 행 2 열 행렬의 다항식을 계산하고 대각합과 행렬식도 표시합니다. 첫째 행의 성분이 a, b이고 둘째 행이 c, d인 행렬의 최고차항 계수가 일인 특성다항식은 p(λ) = det(λI - A)입니다. 행렬식을 전개하면 λ의 제곱에서 (a + d)와 λ의 곱을 빼고 (ad - bc)를 더한 식이 됩니다. a + d는 대각합이며 ad - bc는 행렬식입니다. 2 행 2 열 행렬에서는 이 두 값이 특성다항식을 완전히 결정합니다. 일부 교재는 다항식을 det(A - λI)로 정의합니다. 짝수 차수인 2 행 2 열 행렬에서는 같은 다항식이 나오므로 여기서는 부호 차이가 없습니다. 홀수 차원에서는 두 정의의 전체 부호가 반대지만 근은 같습니다. 여기서 사용하는 최고차항 계수가 일인 정의는 선형대수에서 흔히 쓰입니다. 특성다항식은 고유값 계산, 안정성 분석, 미분방정식, 점화식, 양자역학, 제어 시스템, 데이터 과학에 활용됩니다. 가장 간단한 예는 대각행렬입니다. 고유값은 대각 성분이며, 다항식은 λ에서 각 대각 성분을 뺀 인수들의 곱입니다. 중근은 반복된 고유값을 나타내지만, 충분한 수의 선형 독립 고유벡터가 존재하는지는 추가로 확인해야 합니다. 일반적인 정수나 소수를 행별로 왼쪽에서 오른쪽 순서대로 입력하세요. 계산기는 대각합과 행렬식을 먼저 구한 다음 일반적인 이차식에 대입합니다. 소수 연산 결과는 표시할 때 반올림될 수 있으므로 기호를 이용한 증명에는 정확한 분수 계산이 더 적합할 수 있습니다. 이후 수치 고유값을 구하려면 표시된 이차방정식을 인수분해하거나 근의 공식을 적용하세요.