固有値・固有ベクトル計算ツール

固有値と固有ベクトルは、線形変換を受けても同じ直線上にとどまる方向を表します。正方行列を固有ベクトルに掛けると、結果は元のベクトルと同じ直線上にあります。固有値は、その方向に適用される倍率です。正なら向きを保ち、負なら向きを反転し、零ならその方向を零ベクトルに縮めます。こうした考え方により、複雑な行列変換を少数の重要な方向と倍率で理解できます。 2行2列の行列では、トレースと行列式から特性多項式を作ります。この二次方程式を解くと、最大二つの実固有値が得られます。各固有値について、対角要素からその値を引いて作った同次連立方程式を解きます。表示する固有ベクトルは、ユークリッド長が一になるよう正規化します。固有ベクトルは零でない定数倍をしても有効なので、教科書やソフトウェアでは符号や大きさの異なる同等のベクトルが示されることがあります。 固有値は線形代数、微分方程式、統計、データサイエンス、物理、工学、コンピューターグラフィックスなどに広く登場します。力学系の安定・不安定な挙動、共分散行列の主方向、構造物の振動モード、行列積を繰り返したときの長期的な傾向を明らかにします。2行2列の行列で固有値が異なる場合、通常は独立な二つの固有ベクトルが得られ、対角化が可能です。重複固有値の場合は、行列によって独立な方向が一つの場合と二つの場合があります。 この計算ツールは2行2列の行列の実固有値に対象を絞り、特性多項式の判別式が負の場合は通知します。複素固有値も数学的に正当ですが、このツールの範囲を超える複素数表記が必要です。小数の結果は表示用に丸めますが、計算にはJavaScriptの浮動小数点精度をそのまま使います。授業で厳密解が必要な場合は表示値を数値確認に使い、特性方程式がきれいに因数分解できるときは根号や分数を残してください。元の行列とベクトルの積を、固有値と同じベクトルの積と比較し、固有ペアを必ず確認しましょう。