垂心計算機

垂心は、三角形の三本の高さを含む直線が交わる点です。ここで高さとは、頂点を通り、対辺を含む直線に垂直な直線を指します。三本すべてを描くと構造を把握しやすくなりますが、計算には二本で十分です。異なる二本が交わると、三本目も同じ点を通ります。この共点性はユークリッド幾何学の基本定理です。 垂心の位置は三角形の角によって変わります。鋭角三角形では三本が内部で交わります。直角三角形では直角を挟む二辺が既に互いに垂直な高さなので、直角の頂点が垂心です。鈍角三角形では少なくとも二つの対辺を延長する必要があり、高さは三角形の外で交わります。外部の座標が得られても、計算の失敗ではありません。 座標幾何では、垂直という条件を内積で表します。頂点 A と未知の点 H を結ぶ直線が高さなら、ベクトル H 引く A は辺 BC に垂直で、内積はゼロです。もう一つの式ではベクトル H 引く B が辺 AC に垂直となります。この二つの内積を展開すると、H のx座標とy座標を未知数とする二元連立一次方程式が得られます。計算機はこれを直接解くので、垂直な直線に例外処理が必要な傾きの公式を使いません。 三点が同一直線上にある場合、三角形は定まりません。二本の高さの方程式に一意な交点がなくなり、代数的には行列式がゼロになります。計算機はこの状態を検出し、同一直線上にない頂点を求めます。重複する点も同じ幾何学的理由で受け付けません。小数や負の座標も使えるため、どの象限でも利用でき、辺を座標軸に平行にする必要もありません。 垂心は、三角形の代表的な四つの中心の一つです。重心は中線の交点、内心は角の二等分線の交点、外心は辺の垂直二等分線の交点です。一般の三角形では異なる点になります。重心、外心、垂心はオイラー線上にあり、位置の間には簡単な比の関係があります。正三角形では対称性により四つの中心が一致します。 この計算機は解析幾何、作図の確認、三角形の中心の演習、コンピューターグラフィックスに役立ちます。x座標とy座標の組み合わせを間違えないよう、各座標対を入力してください。結果は読みやすく丸めて表示しますが、方程式はJavaScriptの浮動小数点精度をそのまま使って計算します。いずれかの高さの内積の式に結果を代入すれば、直接検算できます。