Würfel-Durchschnittsrechner

Der Durchschnitt eines fairen Würfels ist sein Erwartungswert: das langfristige Mittel vieler unabhängiger Würfe. Bei einem Würfel mit den Zahlen 1 bis s und gleich wahrscheinlichen Seiten addiert man alle Seitenwerte und teilt durch s. Die arithmetische Reihe vereinfacht sich zu (s + 1) / 2. Bei n identischen Würfeln addieren sich die Erwartungswerte, sodass die erwartete Summe n(s + 1) / 2 beträgt. Zwei normale sechsseitige Würfel ergeben daher im Mittel 7, obwohl kein einzelner Würfel 3.5 zeigen kann. Der Erwartungswert sagt nicht voraus, dass jeder Wurf dem Durchschnitt entspricht. Er ist der Gleichgewichtspunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Summe nahe der Mitte kann durch mehr Kombinationen entstehen als ein Extremwert. Bei zwei sechsseitigen Würfeln hat 7 sechs Kombinationen, während 2 und 12 jeweils nur eine haben. Mit mehr unabhängigen Würfeln konzentrieren sich die Summen stärker um den Mittelwert, und die Verteilung nimmt eine Glockenform an. Die Varianz misst den mittleren quadrierten Abstand vom Erwartungswert. Ein fairer s-seitiger Würfel hat die Varianz (s² - 1) / 12. Varianzen unabhängiger Würfel sind additiv, also ergibt sich n(s² - 1) / 12 für n identische Würfel. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und beschreibt die typische Streuung in derselben Einheit wie die Summe. Mehr Würfel erhöhen die absolute Standardabweichung, doch sie wächst mit der Quadratwurzel von n, während der Mittelwert direkt mit n wächst. Die relative Schwankung nimmt daher ab. Die kleinstmögliche Summe ist n, da jeder Würfel 1 zeigen kann. Die größte ist ns, da jeder seinen höchsten Wert zeigen kann. Der Rechner setzt übliche Würfel mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ab 1, gleich wahrscheinlichen Seiten und unabhängigen Würfen voraus. Gezinkte Würfel, eigene Beschriftungen, Wiederholungswürfe, explodierende Würfel, Vorteilsmechaniken, verworfene Ergebnisse oder Modifikatoren benötigen ein anderes Wahrscheinlichkeitsmodell. Würfelmittelwerte helfen bei Brett- und Rollenspieldesign, erwarteter Schadensanalyse, Simulationsprüfungen, Wahrscheinlichkeitsübungen und dem Vergleich zufallsbasierter Systeme. Allein zeigen sie nicht die Wahrscheinlichkeit jeder Summe. Zwei Würfelpools können denselben Erwartungswert, aber unterschiedliche Bereiche und Streuungen haben, sodass Ergebnisse unterschiedlich zuverlässig nahe dem Durchschnitt liegen. Vergleichen Sie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Minimum und Maximum, bevor Sie zwei Mechaniken als ähnlich einstufen. Für genaue Zielwahrscheinlichkeiten sollten Sie mögliche Ergebnisse aufzählen oder falten, statt sich nur auf den Mittelwert zu verlassen.