Stetigkeitskorrektur-Rechner

Nähern Sie binomiale Wahrscheinlichkeiten mit einer Normalverteilung und der richtigen Halb-Einheiten-Korrektur der Grenzen an.

Normalapproximation der Binomialverteilung

Geben Sie ein Binomialmodell und Ereignisgrenzen ein, um die stetigkeitskorrigierte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Anzahl der Versuche (n)

Erfolgswahrscheinlichkeit (p)

Wahrscheinlichkeitstyp

Zielanzahl der Erfolge (x)

Über die Stetigkeitskorrektur

Eine binomialverteilte Zufallsvariable zählt Erfolge und nimmt deshalb nur ganzzahlige Werte an. Eine normalverteilte Zufallsvariable ist stetig und kann jeden Wert auf der Zahlengeraden annehmen. Wird eine Binomialverteilung durch eine Normalkurve angenähert, verschiebt die Stetigkeitskorrektur jede diskrete Grenze um eine halbe Einheit. Dadurch passt die Fläche unter der stetigen Kurve besser zu den Wahrscheinlichkeitsbalken der diskreten Verteilung. Bei einem Ereignis wie höchstens 20 Erfolgen liegt die korrigierte Normalgrenze bei 20.5, da der auf 20 zentrierte Binomialbalken von 19.5 bis 20.5 reicht. Bei mindestens 20 wird die untere Grenze zu 19.5. Genau 20 wird durch das Intervall von 19.5 bis 20.5 dargestellt; für 20 bis einschließlich 30 gelten 19.5 und 30.5. Der Rechner wendet diese Regeln automatisch an, bevor er jede endliche Grenze in einen z-Wert standardisiert. Die approximierende Normalverteilung hat den Mittelwert n mal p und die Standardabweichung als Quadratwurzel aus n mal p mal eins minus p. Nach der Korrektur wird von jeder Grenze der Mittelwert abgezogen und durch die Standardabweichung geteilt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche zwischen den resultierenden z-Werten. Einseitige Ereignisse nutzen den gesamten verbleibenden Verteilungsschwanz und benötigen nur eine endliche korrigierte Grenze. Eine Normalapproximation ist meist sinnvoll, wenn sowohl die erwarteten Erfolge, n mal p, als auch die erwarteten Misserfolge, n mal eins minus p, mindestens 5 betragen. Manche Lehrveranstaltungen und Fachleute bevorzugen den konservativeren Schwellenwert 10. Ist eine der Anzahlen klein, kann die Binomialverteilung stark schief sein; dann ist eine exakte Binomialrechnung sicherer. Bei p gleich null oder eins ist die Approximation ebenfalls nicht definiert, da die Standardabweichung null beträgt. Die Stetigkeitskorrektur ist besonders bei mittleren Stichprobengrößen und Wahrscheinlichkeiten nahe einer Entscheidungsgrenze wichtig. Ihr Einfluss nimmt mit wachsender Versuchsanzahl meist ab, dennoch verbessert sie eine von Hand berechnete Normalapproximation auf sinnvolle Weise. Nutzen Sie Mittelwert, Standardabweichung und Wahrscheinlichkeit zur Aufgabenkontrolle, Analyseplanung oder zum Vergleich mit Statistiksoftware.

Beispiele zur Stetigkeitskorrektur

Diese Beispiele zeigen, wie diskrete Ereignisgrenzen vor der Berechnung der Normalwahrscheinlichkeit verschoben werden.

Binomiales Ereignis	Korrigierte Grenze	Interpretation
n = 100, p = 0.5, X höchstens 55	X unter 55.5; Wahrscheinlichkeit 0.864334	Der obere Rand des Balkens für 55 wird eingeschlossen.
n = 50, p = 0.4, X mindestens 20	X über 19.5; Wahrscheinlichkeit 0.557469	Die untere Grenze sinkt, damit der gesamte Balken für 20 enthalten ist.
n = 80, p = 0.25, X genau 20	X größer als 19.5 und kleiner als 20.5	Ein diskreter Balken wird zu einem stetigen Intervall mit einer Einheit Breite.

So verwenden Sie den Stetigkeitskorrektur-Rechner

Geben Sie die Anzahl unabhängiger binomialer Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch ein.
Wählen Sie höchstens, mindestens, genau oder zwischen zwei Erfolgsanzahlen.
Geben Sie die Zielanzahl und bei einem Intervall die eingeschlossene obere Zielanzahl ein.
Wählen Sie Wahrscheinlichkeit berechnen und lesen Sie korrigierte Normalwahrscheinlichkeit, Mittelwert und Standardabweichung ab.

Fragen zur Stetigkeitskorrektur

Warum ist eine Stetigkeitskorrektur nötig?

Die binomiale Anzahl ist diskret, das Normalmodell stetig. Das Verschieben jeder eingeschlossenen Grenze um eine halbe Einheit stimmt Normalflächen auf vollständige Wahrscheinlichkeitsbalken ab.

Wann sollte ich eine Normalapproximation verwenden?

Wenn erwartete Erfolge und Misserfolge beide ausreichend groß sind, üblicherweise mindestens 5 oder 10. Bei kleinen Anzahlen oder starker Schiefe berechnen Sie besser die exakte Binomialwahrscheinlichkeit.

Addiere oder subtrahiere ich 0.5?

Eine eingeschlossene obere Grenze steigt um 0.5, eine eingeschlossene untere Grenze sinkt um 0.5. Eine genaue Anzahl nutzt beide Korrekturen für ein Intervall der Breite eins.

Darf p null oder eins sein?

Diese Werte beschreiben deterministische Ergebnisse und ergeben eine Standardabweichung von null. Die Normalapproximation ist daher nicht definiert, obwohl die exakte binomiale Antwort sofort feststeht.

Ist das korrigierte Ergebnis exakt?

Nein, es bleibt eine Näherung auf Grundlage der Normalverteilung. Die Stetigkeitskorrektur verbessert diese meist, ersetzt aber keine exakte Binomialrechnung.