Binomialverteilung-Rechner

Exakte und kumulierte binomiale Wahrscheinlichkeiten, Mittelwert und Varianz berechnen.

Binomiale Wahrscheinlichkeit
Geben Sie Versuchszahl, Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch und angestrebte Erfolgszahl ein.

Über die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge bei einer festen Zahl unabhängiger Versuche. Jeder Versuch muss zwei relevante Ausgänge haben, üblicherweise Erfolg und Misserfolg genannt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss von Versuch zu Versuch gleich bleiben. Die Parameter sind n, die Versuchszahl, und p, die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs. Die Zufallsvariable zählt die Erfolge und kann daher die ganzen Zahlen von null bis n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge ist der Binomialkoeffizient „n über k“, multipliziert mit p hoch k und mit eins minus p hoch n minus k. Der Koeffizient zählt die unterschiedlichen Reihenfolgen, in denen k Erfolge auftreten können. Der Rechner bestimmt diese Wahrscheinlichkeit und zwei kumulierte Ergebnisse. Höchstens k summiert die Wahrscheinlichkeiten von null bis k. Mindestens k summiert von k bis n; hier wird dazu das Gegenereignis von weniger als k Erfolgen verwendet. Diese kumulierten Wahrscheinlichkeiten helfen bei Schwellenfragen, die eine einzelne exakte Wahrscheinlichkeit nicht beantwortet. Der Mittelwert beträgt n mal p und beschreibt die langfristig durchschnittliche Erfolgszahl bei vielen Wiederholungen des gesamten Experiments. Die Varianz ist n mal p mal eins minus p; die Standardabweichung wäre die Quadratwurzel daraus. Der Mittelwert muss kein mögliches ganzzahliges Ergebnis sein. Er beschreibt das Zentrum der Verteilung, keine garantierte Anzahl. Die Streuung ist bei p nahe einem Halb am größten und wird kleiner, wenn p gegen null oder eins geht. Typische Anwendungen sind Münzwürfe, Fertigungsfehler, Umfrageantworten, Conversions, Bestehen-Nichtbestehen-Prüfungen und Behandlungsergebnisse. Prüfen Sie zuvor die Annahmen: unabhängige Versuche, im Voraus festgelegte Versuchszahl und gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit kann die Unabhängigkeit verletzen und wird oft besser durch die hypergeometrische Verteilung beschrieben. Veränderliche Erfolgswahrscheinlichkeiten erfordern ebenfalls ein anderes Modell. Geben Sie p als Dezimalzahl zwischen null und eins ein, etwa 0.25 für 25%. Nutzen Sie die exakte Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Anzahl, höchstens für Obergrenzen und mindestens für das Erreichen oder Überschreiten eines Ziels.

Beispiele zur Binomialverteilung

Diese Beispiele verwenden unabhängige Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

Parameter (n, p, k)Ausgewählte ErgebnisseSzenario
10, 0.5, 5P(X = 5) = 0.24609375Genau fünfmal Kopf bei zehn Würfen einer fairen Münze.
20, 0.1, 2P(X = 2) = 0.28517981Genau zwei markierte Elemente bei einer Markierungsrate von jeweils 10%.
5, 0.8, 4P(X = 4) = 0.4096Genau vier Erfolge in fünf Versuchen mit hoher Erfolgswahrscheinlichkeit.

So berechnen Sie binomiale Wahrscheinlichkeiten

  1. Geben Sie die feste Anzahl unabhängiger Versuche ein.
  2. Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch als Dezimalzahl von null bis eins ein.
  3. Geben Sie die angestrebte ganzzahlige Erfolgszahl zwischen null und der Versuchszahl ein.
  4. Wählen Sie Binomiale Wahrscheinlichkeit berechnen und vergleichen Sie exakte und kumulierte Ergebnisse.

Häufig gestellte Fragen

Wann ist ein Binomialmodell geeignet?

Bei einer festen Zahl unabhängiger Versuche mit zwei Ausgängen und konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit. Gelten diese Annahmen nicht, kann ein anderes Wahrscheinlichkeitsmodell genauer sein.

Wie unterscheiden sich exakte und kumulierte Wahrscheinlichkeit?

Die exakte Wahrscheinlichkeit betrifft eine bestimmte Erfolgszahl. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit fasst einen Bereich zusammen, etwa alle Ergebnisse bis einschließlich eines Schwellenwerts.

Soll ich die Wahrscheinlichkeit als Prozentwert eingeben?

Geben Sie eine Dezimalzahl zwischen null und eins ein. Für eine Erfolgschance von 35% tragen Sie beispielsweise 0.35 ein.

Darf der Mittelwert eine Dezimalzahl sein?

Ja. Er ist ein erwarteter langfristiger Durchschnitt und muss kein erreichbares Einzelergebnis sein. Tatsächliche Erfolgszahlen sind immer ganzzahlig.

Was gilt, wenn die Versuche nicht unabhängig sind?

Abhängigkeit verändert die Verteilung, weil ein Ergebnis ein anderes beeinflussen kann. Ziehen ohne Zurücklegen kann stattdessen ein hypergeometrisches Modell erfordern.