Rechner für die Lognormalverteilung

Eine positive Zufallsvariable ist lognormalverteilt, wenn ihr natürlicher Logarithmus normalverteilt ist. Ist ln(X) normalverteilt mit Lage mu und Standardabweichung sigma, dann ist X mit diesen Parametern lognormalverteilt. Die Verteilung ist nur für positive Werte definiert und meist rechtsschief: Viele Beobachtungen liegen bei kleineren Werten, während ein langer rechter Verteilungsschwanz gelegentlich große Werte ermöglicht. Die Parameter beschreiben die Logarithmen, nicht die ursprünglichen Messwerte. Mu ist der Mittelwert von ln(X); eine Änderung von mu verschiebt die Verteilung auf der Originalskala daher multiplikativ. Sigma ist die Standardabweichung von ln(X) und muss positiv sein. Größeres sigma bedeutet stärkere relative Streuung, ausgeprägtere Rechtsschiefe und einen schwereren rechten Rand. Sigma wird auch Formparameter oder logarithmischer Skalenparameter genannt und ist nicht die gewöhnliche Standardabweichung von X. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion PDF gibt die relative Dichte bei einem positiven x an. Die Dichte an einem einzelnen Punkt ist selbst keine Wahrscheinlichkeit; Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus Flächen über Intervallen. Die kumulative Verteilungsfunktion CDF gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens dem eingegebenen x entspricht. Dazu wird ln(x) in einen normalen z-Wert umgerechnet und die CDF der Standardnormalverteilung ausgewertet. Auf der Originalskala ist der Median exp(mu), weil die Hälfte der Logarithmen unter mu liegt. Der Modalwert ist exp(mu minus sigma zum Quadrat) und liegt bei positivem sigma unter dem Median. Der Mittelwert ist exp(mu plus die Hälfte von sigma zum Quadrat). Er liegt über dem Median, da große Werte im rechten Rand das arithmetische Mittel erhöhen. Die Reihenfolge Modalwert kleiner Median kleiner Mittelwert ist typisch für Rechtsschiefe. Die Varianz ist exp(sigma zum Quadrat) minus eins, multipliziert mit exp(2mu plus sigma zum Quadrat). Sie kann mit wachsendem sigma stark ansteigen. Das ist bei Finanz-, Umwelt-, Zuverlässigkeits-, biologischen und Zeitdauerdaten wichtig, wenn wenige große Beobachtungen die Summen dominieren. Definieren Sie die Parameter eindeutig: Manche Programme verwenden andere Parametrisierungen anhand des Mittelwerts auf der Originalskala oder eines separaten Skalenfaktors. Ein Lognormalmodell ist plausibel, wenn Werte strikt positiv sind und Einflüsse multiplikativ zusammenwirken. Beispiele sind Einkommen, Partikelgrößen, Reparaturzeiten, biologische Konzentrationen und manche Vermögenspreisverhältnisse. Es passt nicht automatisch zu jeder positiven, schiefen Stichprobe. Prüfen Sie ein Histogramm, eine logarithmische Darstellung und einen Normalwahrscheinlichkeitsplot der Logarithmen. Null und negative Werte erfordern eine wissenschaftlich begründete Transformation oder ein anderes Modell.