Rechner für die negative Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung beschreibt, wie viele Misserfolge auftreten, bevor in einer Folge unabhängiger Versuche eine feste Anzahl von Erfolgen erreicht wird. Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse, üblicherweise Erfolg und Misserfolg genannt, und die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt konstant. Dieser Rechner verwendet r für die erforderliche Erfolgszahl, p für die Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch und k für die vor dem r-ten Erfolg beobachteten Misserfolge. Diese Definition ist in Wahrscheinlichkeitskursen, Qualitätskontrolle, Zuverlässigkeitsstudien, Epidemiologie und der Modellierung von Zähldaten üblich. Die exakte Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion C(k + r - 1, k) mal p hoch r mal (1 - p) hoch k. Der Binomialkoeffizient zählt die möglichen Anordnungen früherer Erfolge und Misserfolge, wobei der letzte Versuch der angestrebte Erfolg sein muss. Der Rechner summiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion außerdem von null bis k zu P(X <= k) und zieht diesen kumulierten Wert von eins ab, um P(X > k) zu erhalten. Damit werden Fragen nach «genau», «höchstens» und «mehr als» ohne getrennte Rechnungen beantwortet. Die erwartete Anzahl der Misserfolge ist r(1 - p) / p, die Varianz r(1 - p) / p². Eine höhere Erfolgswahrscheinlichkeit verschiebt die Verteilung in der Regel in Richtung null Misserfolge und verringert die Streuung. Eine höhere Zielzahl von Erfolgen erhöht sowohl die erwarteten Misserfolge als auch die Varianz. Ist p gleich eins, gelingt jeder Versuch: Die Wahrscheinlichkeit für null Misserfolge beträgt eins, und Mittelwert sowie Varianz sind null. Verwenden Sie für r und k ganze Zahlen, da sie Ergebnisse zählen. Geben Sie p als Dezimalzahl zwischen null und eins ein, etwa 0.35 für eine Wahrscheinlichkeit von 35 Prozent. Das Standardmodell setzt unabhängige und identisch verteilte Versuche voraus. Ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, beeinflussen sich Ergebnisse gegenseitig oder endet der Prozess aus einem anderen Grund, kann ein anderes Modell besser passen. Manche Lehrbücher definieren die negative Binomialvariable als Gesamtzahl der Versuche statt als Zahl der Misserfolge. Dann beträgt die Gesamtzahl k + r; bei korrekter Umrechnung der Variablen bleibt die Wahrscheinlichkeit unverändert.