Rechner zum dritten Keplerschen Gesetz

Das dritte Keplersche Gesetz verknüpft die Zeit für einen vollständigen Umlauf mit der Größe der Umlaufbahn. Johannes Kepler beschrieb diesen Zusammenhang zunächst anhand der Beobachtung, dass das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten proportional zur dritten Potenz seiner großen Halbachse ist. Die große Halbachse ist die Hälfte des längsten Durchmessers einer elliptischen Bahn. Bei einer Kreisbahn entspricht sie dem konstanten Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Körper. Die Newtonsche Gravitation liefert die Proportionalitätskonstante und macht das Gesetz auch außerhalb von Planetenbahnen um die Sonne nutzbar. Die allgemeine Zweikörpergleichung lautet: T zum Quadrat = 4 mal Pi zum Quadrat mal a hoch drei, geteilt durch das Produkt aus G und Gesamtmasse. Dabei ist T die Umlaufzeit, a die große Halbachse, G die Gravitationskonstante und die Gesamtmasse die Summe beider Körpermassen. Beide Massen zu berücksichtigen ist bei Doppelsternen und anderen Systemen mit ähnlich schweren Komponenten wichtig. Bei einem Planeten um einen Stern ist die Planetenmasse meist so klein, dass ihre Vernachlässigung das Ergebnis nur geringfügig verändert. Der Rechner akzeptiert die Hauptmasse in Sonnenmassen, die Masse des umlaufenden Körpers in Erdmassen, den Abstand in astronomischen Einheiten und die Zeit in Tagen. Vor der Auswertung wandelt er diese praktischen astronomischen Einheiten in SI-Einheiten um. Im Umlaufzeitmodus berechnet er T aus a. Im Halbachsenmodus stellt er dieselbe Gleichung um und zieht die Kubikwurzel. Die angezeigte Bahngeschwindigkeit ist die Kreisbahngeschwindigkeit beim berechneten Abstand. Sie ergibt sich als Quadratwurzel aus dem Gravitationsparameter geteilt durch den Radius. Die Kreisbahngeschwindigkeit ist ein hilfreicher Referenzwert, doch auf einer elliptischen Bahn ändert sich das Tempo. Ein Objekt ist nahe der Periapsis am schnellsten und nahe der Apoapsis am langsamsten. Für eine detaillierte Bahnrechnung sind daher die Vis-Viva-Gleichung und der aktuelle Bahnradius erforderlich. Die Berechnung setzt außerdem ein isoliertes Zweikörpersystem mit konstanten Massen voraus. Atmosphärischer Widerstand, Schub, nichtsphärische Gravitation, Resonanzen und Störungen durch weitere Körper werden nicht modelliert. Innerhalb dieser Grenzen liefert Keplers Gesetz eine genaue erste Berechnung für Planetensysteme, künstliche Satelliten, Monde und Doppelobjekte.